求第六题二元函数连续性的证明。数学分析。答:f(x,y)在矩形区域S=[a,b]x[c,d]上连续,因为S是闭区域,所以f(x,y)在S上一致连续。因此,任给ε>0,存在Δ>0,当||(x1,y1)-(x2,y2)||<Δ,|f(x1,y1)-f(x2,y2)|<ε。把y1,y2换成φn(x),φm(x),(x,φn(x)),(x,φm(x))∈S。根据条件,对这个Δ>0,...
f(x,y)=1/(1-xy),(x,y)属于[0,1]^2\{(1,1)},求证:f连续但不一致连续答:a+)和f(b-)存在,二元函数在有界集上关于一致连续性也有类似的定理:f(x,y)在有界集D上一致连续的充要条件是,对D的边界上任意一点(x0,y0),当(x,y)趋于(x0,y0)时二重极限limf(x,y)存在.本题中显然对边界点(1,1),limf(x,y)不存在,因此不一致连续.当然也可以用定义证明,但是较麻烦.