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设a为n阶方阵,且a^2=a
设n阶方阵A
满足A
2=A
(称这样的方阵
A为
幂等方阵).证明:r(A)+r(A-E)=n.
答:
【答案】:证 由A2
=A
,有A(A-E)=O,故由3-50题,有r(A)+r(A-E)≤n (3-46)又因A+(E-A)=E,故由3-33题,有r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n (3-47)综合(3-46)及(3-47)式,即得r(A)+r(A-E)=n.
设A为n阶
幂等
方阵,且
0<r(A)<
n,
设...
设A是n阶方阵,且A^2=A
,证明:若R(A)=r,则R(A-E)=n-r
答:
A^2=A
A^2-A=O A(A-E)=O 所以 R(A)+R(A-E)<=
n
又 A+(E-A)=E n=R(E)=R(A+(E-A))<=R(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E)即 R(A)+R(A-E)>=n 所以 R(A)+R(A-E)=n 又R(A)=r,所以 R(A-E)=n-r.
设a为n阶方阵,且
满足
a^2=a
。证明:r(a-e)+r(a)=n,其中e是n阶单位矩阵...
答:
因为A*A
=A,
所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解;由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于
n
;又由R(A)+R(B)>=R(A+B);可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n。
设A为n阶方阵,且
A2
=A
,证明:若A的秩为r,则A-E的秩为n-r,其中E是n阶单位...
答:
因为:A2
=A,
所以:A(A-E)=0,则:r(A)+r(A-E)≤
n,
又因为:r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n,所以:r(A)+r(A-E)=n,则:r(A-E)=n-r,证毕.
设A是n阶方阵,且A^2=A
,则必有( )。
答:
排除法呀!首先不妨
设A为
单位矩阵 bd排除 再次不妨设A=0 则A的秩为零故而排除A,所以答案是C 其实这个可以根据数学推到严格证明,限于篇幅不再介绍,估计你也不会需要,呵呵!(百度写数学公式真麻烦,错了应该是搜狗拼音)
设A是n阶方阵
且满足
A^2=A
则A的特征值只能为?
答:
设a是
A的特征值则
a^2
-a 是
A^2
-A 的特征值参考:而 A^2-A=0, 零矩阵的特征值只能为0所以 a^2-a=0所以 a(a-1)=0所以 a=0 或 a=1.故 A的特征值只能为0或1.
设n方阵A
满足
A^2=A,
E
为n阶
单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n
答:
设X
为n
维空间,设 e1, e2, ..., e_i, i = R(A), 为 AX 的一组基,并扩充为 e1, e2, ..., e_i, e_(i+1), ..., e_n, 使得其为 X 的一组基。任给x
,
A(Ax)
= A
x, 这意味着 A 在AX 上为单位映射。所以:对所有 1<= s <= i, Ae_s = e_s,(A-E)e_s = 0,==> ...
设n阶方阵A
满足
A^2=A,
则A与A-E不同时可逆。请问为什么?
答:
A是
可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0(
方阵A
的行列式不等于0)。若A²
=A,
那么A²-A=0,即A(A-E)=0;所以A与A-E中必有一个为零矩阵,即他们不能同时可逆。为什么A(A-E)=0,则|A(A-E)|=0?因为A(A-E)=0 两边同时取行列式:所以|A(A-E)|=|0|=0 欢迎追问 ...
设A是n阶方阵
且满足
A^2=A
则A的特征值只能为?
答:
设a是
A的特征值则
a^2
-a是
A^2
-A的特征值参考:向左转|向右转而A^2-A=0,零矩阵的特征值只能为0所以a^2-a=0所以a(a-1)=0所以a=0或a=1.故A的特征值只能为0或1.
设A为n阶方阵,
若A²
=A
,可以推出A=E或A=0吗?
答:
不能吧
A^2=A
A^2-A=0 A(A-E)=0 只能说明A(A-E)=0
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设n为n阶方阵
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