直角三角形abc中，求证df是圆o的切线tan角abo的值

Question

如题所述

Answer 1

【原题】如图，直角三角形ABC中，以AB为直径的圆交AC于D，E是BC中点，连接DE，(1)证明直线DE是圆O的切线；（2）连接OC交DE于F，若OF=CF，求tan∠ACO的值.

（1）

证明：

连接BD、OD、OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∵E是BC的中点，

∴DE=1/2BC=BE，

在△ODE和△OBE中，

OD=OB，DE=BE，OE=OE，

∴△ODE≌△OBE（SSS），

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴DE是⊙O的切线.

（2）

解：

过点O作OG⊥AD于G，

则AG=DG（垂径定理），

∵OF=CF，CE=BE，

∴EF是△OBC的中位线，

∴EF//OB，

∴∠DEB=∠OBE=90°=∠ODE，

∴四边形OBED是矩形，

∴∠AOD=90°，

∴OG=1/2AD，

∴CD/AD=CE/BE=1，

∴CD=AD，

∴CG=CD+DG=3/2AD，

∴tan∠ACO=OG/CG=1/3.