【原题】如图,直角三角形ABC中,以AB为直径的圆交AC于D,E是BC中点,连接DE,(1)证明直线DE是圆O的切线;(2)连接OC交DE于F,若OF=CF,求tan∠ACO的值.
(1)
证明:
连接BD、OD、OE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∵E是BC的中点,
∴DE=1/2BC=BE,
在△ODE和△OBE中,
OD=OB,DE=BE,OE=OE,
∴△ODE≌△OBE(SSS),
∴∠ODE=∠OBE=90°,
∴DE是⊙O的切线.
(2)
解:
过点O作OG⊥AD于G,
则AG=DG(垂径定理),
∵OF=CF,CE=BE,
∴EF是△OBC的中位线,
∴EF//OB,
∴∠DEB=∠OBE=90°=∠ODE,
∴四边形OBED是矩形,
∴∠AOD=90°,
∴OG=1/2AD,
∴CD/AD=CE/BE=1,
∴CD=AD,
∴CG=CD+DG=3/2AD,
∴tan∠ACO=OG/CG=1/3.