分析:
(1)由已知中f (1+x)=f (1-x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,结合方程f (x)=x有等根其△=0,我们可构造关于a,b的方程组,解方程组求出a,b的值,即可得到f (x)的解析式;
(2)由(1)中函数的解析式,我们根据f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],我们易判断出函数在[m,n]的单调性,进而构造出满足条件的方程,解方程即可得到答案.
解答:
解:(1)∵f(x)满足f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称.
而二次函数f(x)的对称轴为x=-b/2a,∴-b/2a=1①
又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,∴△=(b-1)2=0.②
由①,②得 b=1,a=-1/2,∴f(x)=-1/2x2+x
(2)∵f(x)=-1/2(x-1)∧2+1/2≤1/2
如果存在满足要求的m,n,则必需3n≤1/2,∴n≤1/6从而m<n≤1/6<1,而x≤1,f(x)单调递增,
f(m)=−1/2m2+m=3m
f(n)=−1/2n2+n=3n
可解得m=-4,n=0满足要求.
∴存在m=-4,n=0满足要求.
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