第1个回答 2013-01-20
二次函数（quadratic function）是指 未知数 的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为 自变量 ，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是 轴对称 图形。对称轴为直线 x=-b/2a. 顶点坐标[-b/2a,4ac-b平方/4a]
注意 ：“ 变量 ”不同于“ 自变量 ”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“ 未知数 ”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“ 变量 ”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
函数性质
y的范围：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：当b=0时为 偶函数 ，当b≠0时为非奇非偶函数 。
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；
⑶最值：（-b/2a，(4ac-b^2;)/4a）；
⑷Δ=b2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ=0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ<0，图象与x轴无交点；
特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。②y=a(x-h)2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X
的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连
用）。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
增减性
当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反
当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反
表达式
一般式
·
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)， 顶点坐标 为[-b/2a,(4ac-b2)/4a]
把三个点代入函数解析式得出一个二元二次方程组，就能解出a、b、c的值。
顶点式
·
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用 配方法 把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把（3120）代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左 平移 。
记住，左同右异。同号在左，异号在右。
交点式
·
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的 抛物线 ，即b2-4ac≥0].
已知 抛物线 与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。∵x+x=-b/a x1·x=c/a（由韦达定理得）
∴y=ax2+bx+c
=a（x2+b/ax+c/a）
=a[x2-(x1+x2)x+x1*x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的 绝对值 可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。