线性代数

Question

对于一般的可相似对角化的矩阵A通过特征向量构成的可逆矩阵P为什么不能转换为正交矩阵？

Answer 1

对于一般的可相似对角化的矩阵，比如说A=P B P^-1，B是对角阵。我们知道P的各个列向量实际上就是A的特征向量。

同一个特征值对应的特征向量构成了特征子空间。不同的特征值对应不同的特征子空间。这些子空间的交集是空的，但它们未必是正交的，就像两条不垂直的直线一样。

只有当A是对称矩阵（复数时为Hermitan矩阵）时，才能保证特征子空间是正交的。
因为A^T = P^(-T) B P^T = A = P B P^-1, 所以P^T = P^-1，P是正交阵。