初三数学证明题。

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（—5，0），以OA为半径作半圆，点c是第一象限内圆周上一动点，连结AC,BC，并延长BC至点D,使CD=BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.(1)、当∠BAC=30°时，求△ABC的面积。(2)、当DE=8时，球线段EF的长。(3)、在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，球求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
求解答~ 过程详细点~~~

Answer 1

) 由于∠OBC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-90°=60°，且OB=OC（都是半径）
△OCB是等边三角形
AB=2AO=10，BC=OB=AO=5，所以AC=√(AB^2-BC^2)=5√3
所以S△ABC=AC*BC/2=5*5√3/2=25√3/2
2) 联结BF，AD
由于∠ACB=90°，即AC⊥BD，又CD=BC，AC是BD中垂线
所以AD=AB=10，AE=√(AD^2-DE^2)=√(10^2-8^2)=6，BE=AB-AE=10-6=4
而且BF=DF(AC是BD中垂线)
设EF=x，则BF=DF=DE-EF=8-x
在Rt△BEF中，∠BEF=90°，所以BE^2+EF^2=BF^2
即4^2+x^2=(8-x)^2，解得x=3
即EF=3

3) 不存在
否则若存在，由于∠FOE始终在∠BAC内部，即∠FOE＜∠BAC
又有∠ACB=FOE=90°
所以按照题意，只有可能△EFO∽△CAB（字母已一一对应）
有∠BAC=∠OFE
又∠BAC=∠BDE（都是∠ABC的余角），∠OFE=∠CFD
有∠CFD=∠CDF
加上∠DCF=90°，有∠CDF=45°
所以∠CAB=∠CDF=45°，△ABC是等腰直角三角形
此时E、F重合，不存在△EOF

Answer 2

^是平方

在圆O中，∠ACB是直径AB所对的圆周角，所以∠ACB=90°

1) 由于∠OBC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-90°=60°，且OB=OC（都是半径）

    △OCB是等边三角形

    AB=2AO=10，BC=OB=AO=5，所以AC=√(AB^2-BC^2)=5√3

    所以S△ABC=AC*BC/2=5*5√3/2=25√3/2

2) 联结BF，AD

    由于∠ACB=90°，即AC⊥BD，又CD=BC，AC是BD中垂线

    所以AD=AB=10，AE=√(AD^2-DE^2)=√(10^2-8^2)=6，BE=AB-AE=10-6=4

    而且BF=DF(AC是BD中垂线)

    设EF=x，则BF=DF=DE-EF=8-x

    在Rt△BEF中，∠BEF=90°，所以BE^2+EF^2=BF^2

    即4^2+x^2=(8-x)^2，解得x=3

    即EF=3

3) 存在，E((-15+5√17)/4)，0)或(-5/3，0)或(-5/2，0)

    3.1：E在x的正半轴

    由于∠BAC+∠AFO=∠FOE

    即∠FOE＜∠BAC

    又有∠ACB=∠FOE=90°

    所以按照题意，只有可能△EFO∽△CAB（字母已一一对应，下同）

    有∠EAF=∠OFE

    又∠FEO是公共角，所以△AEF∽△FEO

    设E(x，0)，则OE=x，AE=5+x，BE=5-x

    由相似得AE/EF=EF/OE，即EF=√(AE*OE)=√(x^2+5x)

    BF=√(EF^2+BE^2)=√(2x^2-5x+25)

    第二小题已证AC是BD的中垂线，所以DF=BF=√(2x^2-5x+25)，AD=AB=10

    所以DE=DF+EF=√(2x^2-5x+25)+√(x^2+5x)

    因为AD^2=AE^2+DE^2

    所以10^2=(√(2x^2-5x+25)+√(x^2+5x))^2+(5+x)^2

    把有理项整理到一边，-2x^2-5x+25=√(2x^4+5x^3+125x)

    两边平方再整理，2x^4+15x^3-75x^2-375x+625=0

    因式分解，(x+5)(x-5)(2x^2+15x-25)=0

    解得x=5，-5，(-15+5√17)/4，(-15-5√17)/4

    其中第二解和第四解为负解，舍掉；第一解导致B、C重合，C不在第一象限，舍掉

    所以E((-15+5√17)/4，0) 

   

    3.2：E在x的负半轴，且∠CAB=∠EOF

    则AF=FO，又FE⊥AO

    所以FE平分AO，EO=AO/2=5/2

    所以E(-5/2，0)

   

    3.3：E在x的负半轴，且∠ABC=∠EOF

    由于∠AFE=∠ABC=90°-∠ABC

    所以∠AFE=∠FOE，又∠AEF=∠FEO=90°

    所以△AEF∽△FEO

    设OE=x，则AE=5-x，BE=5+x

    由相似得AE/EF=EF/OE，即EF=√(AE*EO)=√(-x^2+5x)

    因为∠ABC=∠EOF，即OF∥BD

    所以EO/EB=EF/ED，即ED=EB*EF/EO=((5+x)√(-x^2+5x))/x

    已证AD=10，及AD^2=AE^2+DE^2

    所以，10^2=(5-x)^2+(((5+x)√(-x^2+5x))/x)^2

    发现去分母后三次项可以抵消，最后整理得3x^2+10x-25=0

    解得x=-5，5/3

    舍掉-5，所以E(-5/3，0)

 

    综上所述：

 

存在这样的E，E((-15+5√17)/4)，0)或(-5/3，0)或(-5/2，0)