如图,在平面直角坐标系中,点A(—5,0),以OA为半径作半圆,点c是第一象限内圆周上一动点,连结AC,BC,并延长BC至点D,使CD=BC,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线AC于点E、F,点E为垂足,连结OF.(1)、当∠BAC=30°时,求△ABC的面积。(2)、当DE=8时,球线段EF的长。(3)、在点C运动过程中,是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,球求出点E的坐标;若不存在,请说明理由。
求解答~ 过程详细点~~~
^是平方
在圆O中,∠ACB是直径AB所对的圆周角,所以∠ACB=90°
1) 由于∠OBC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-90°=60°,且OB=OC(都是半径)
△OCB是等边三角形
AB=2AO=10,BC=OB=AO=5,所以AC=√(AB^2-BC^2)=5√3
所以S△ABC=AC*BC/2=5*5√3/2=25√3/2
2) 联结BF,AD
由于∠ACB=90°,即AC⊥BD,又CD=BC,AC是BD中垂线
所以AD=AB=10,AE=√(AD^2-DE^2)=√(10^2-8^2)=6,BE=AB-AE=10-6=4
而且BF=DF(AC是BD中垂线)
设EF=x,则BF=DF=DE-EF=8-x
在Rt△BEF中,∠BEF=90°,所以BE^2+EF^2=BF^2
即4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3
即EF=3
3) 存在,E((-15+5√17)/4),0)或(-5/3,0)或(-5/2,0)
3.1:E在x的正半轴
由于∠BAC+∠AFO=∠FOE
即∠FOE<∠BAC
又有∠ACB=∠FOE=90°
所以按照题意,只有可能△EFO∽△CAB(字母已一一对应,下同)
有∠EAF=∠OFE
又∠FEO是公共角,所以△AEF∽△FEO
设E(x,0),则OE=x,AE=5+x,BE=5-x
由相似得AE/EF=EF/OE,即EF=√(AE*OE)=√(x^2+5x)
BF=√(EF^2+BE^2)=√(2x^2-5x+25)
第二小题已证AC是BD的中垂线,所以DF=BF=√(2x^2-5x+25),AD=AB=10
所以DE=DF+EF=√(2x^2-5x+25)+√(x^2+5x)
因为AD^2=AE^2+DE^2
所以10^2=(√(2x^2-5x+25)+√(x^2+5x))^2+(5+x)^2
把有理项整理到一边,-2x^2-5x+25=√(2x^4+5x^3+125x)
两边平方再整理,2x^4+15x^3-75x^2-375x+625=0
因式分解,(x+5)(x-5)(2x^2+15x-25)=0
解得x=5,-5,(-15+5√17)/4,(-15-5√17)/4
其中第二解和第四解为负解,舍掉;第一解导致B、C重合,C不在第一象限,舍掉
所以E((-15+5√17)/4,0)
3.2:E在x的负半轴,且∠CAB=∠EOF
则AF=FO,又FE⊥AO
所以FE平分AO,EO=AO/2=5/2
所以E(-5/2,0)
3.3:E在x的负半轴,且∠ABC=∠EOF
由于∠AFE=∠ABC=90°-∠ABC
所以∠AFE=∠FOE,又∠AEF=∠FEO=90°
所以△AEF∽△FEO
设OE=x,则AE=5-x,BE=5+x
由相似得AE/EF=EF/OE,即EF=√(AE*EO)=√(-x^2+5x)
因为∠ABC=∠EOF,即OF∥BD
所以EO/EB=EF/ED,即ED=EB*EF/EO=((5+x)√(-x^2+5x))/x
已证AD=10,及AD^2=AE^2+DE^2
所以,10^2=(5-x)^2+(((5+x)√(-x^2+5x))/x)^2
发现去分母后三次项可以抵消,最后整理得3x^2+10x-25=0
解得x=-5,5/3
舍掉-5,所以E(-5/3,0)
综上所述:
存在这样的E,E((-15+5√17)/4),0)或(-5/3,0)或(-5/2,0)