怎么用洛必法则解决高考参数恒成立问题

Question

如题所述

Answer 1

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim0xa fx 及lim0xa gx； (2)在点a
的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3) 
 lim xafxlgx， 那么 
 lim xa fxgx= 
 lim xa fxlgx。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)lim0xfx  及lim0xgx ； (2)0A，f(x) 和g(x)在,A与,A上可导，且g'(x)≠0； (3) 
 lim xfxlgx ， 那么  
limxfxgx= 
 lim xfxlgx。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limxa fx及limxa gx； (2)在点a
的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3) 
 lim xafxlgx， 那么 
 lim xa fxgx= 
 lim xa fxlgx。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，xa  ，xa   洛必达法则也 成立。 ○ 2
洛必达法则可处理00
， ，0，1 ，0，00，型。 ○ 3
在着手求极限以前，首先要检查是否满足00
， ，0，1 ，0，00，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这
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时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理 1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax。 （1） 若0a，求()fx的单调区间； （2） 若当0x时()0fx，求a的取值范围 原解：（1）0a时，()1xfxex，'()1xfxe. 当(,0)x时，'()0fx；当(0,)x时，'()0fx.故()fx在(,0)单调减少，在(0,)单调增加 （II）'()12xfxeax 由（I）知1x ex，当且仅当0x时等号成立.故 '()2(12)fxxaxax， 从而当120a
，即1 2 a 时，'()0 (0)fxx，而(0)0f， 于是当0x时，()0fx. 由1(0)x exx可得1(0)x exx.
从而当1 2 a 时， '()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea， 故当(0,ln2)xa时，'()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln2)xa时，()0fx. 综合得a
的取值范围为1, 2 原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II）当0x时，()0fx，对任意实数a,均在()0fx； 当0x时，()0fx
等价于2 1 x xae x  令 
2 1 x xgxe x  (x>0),
则 3 22 ()xx xxgxeex  ， 令 220x x hxxxxee，则1x x hxxee，0x hxxe，
知hx在0,上为增函数，00hxh；知hx在0,上为增函数， 00hxh；0gx，g(x)在0,上为增函数。
由洛必达法则知， 2 0001 1 22 2lim limlimx xx xxxxxe eex  ，
故1 2 a 综上，知a
的取值范围为1, 2  。 2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为 230xy。 （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当0x，且1x
时，ln()1xk fxxx  ，求k的取值范围。 原解：
（Ⅰ）22 1 ( ln) '()(1)xxbxfxxx  由于直线230xy
的斜率为12，且过点(1,1)
，故(1)1, 1'(1),2 ff 即
1, 1,22 bab 解得1a，1b。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1 f()1xxxx  ，所以
22 ln1(1)(1) ()()(2ln)11xkkxfxxxxxx 。 考虑函数()2lnhxx
2(1)(1)kxx(0)x
，则22(1)(1)2'()kxx hxx。 （i）设0k
，由22 2 (1)(1)'()kxxhxx 知，当1x时，'()0hx，h（x）递减。而(1)0h故当(0,1)x时， ()0hx
，可得 2 1 ()01hxx ；
当x（1，+）时，h（x）<0
，可得 211 x h（x）>0 从而当x>0,且x1时，f（x）-
（1lnxx
+xk）>0，即f（x）
>1lnxx
+x k . （ii）设0<k<1.由于2(1)(1)2kxx=2(1)21kxxk的图像开口向下，且 244(1)0k，对称轴
x= 1 11k. 当x（1
，k11）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故' h （x）>0,而h（1）=0，故当x（1
，k11）时，h（x）>0，
可得2 11 x h（x）0,而h（1）=0， 故当x（1，+）时，h（x）>0
，可得 2 11 x h（x）<0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0] 原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：（II）由题设可得，当0,1xx时，
k< 2 2ln11xx x恒成立。 令g
(x)= 2 2ln11xx x(0,1xx),则 
 22221ln121xxxgxx ， 再令 22 1ln1hxxxx(0,1xx)，则
1 2 lnhxxx x x ，
212ln1hxxx ，易知
 2 1 2ln1hxxx在0,上为增函数，且10h；故当(0,1)x时，0hx，当x（1，+）时，0hx； hx在0,1上为减函数，在1,上为增函数；故hx>1h=0 hx在0,上为增函数 1h=0 当(0,1)x时，0hx，当x（1，+）时，0hx 当(0,1)x时，0gx，当x（1，+）时，0gx gx在0,1上为减函数，在1,上为增函数  由洛必达法则知 
2 1 1 1 ln1ln12121210221limlim limxxxxxxgxxx 
0k，即k的取值范围为（-，0] 规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题 中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法