设随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)=1/2(x+y)e^-(x+y),x>0,y>0求Z=X+Y的概率密度函数

Question

如题所述

Answer 1

f(x,y)=(1/2) (x+y)e∧-(x+y)， 不可以表示成x和y的函数的乘积形式，所以，X、Y不是独立的。

Z=X+Y的概率密度。Z的cdf
F(z)=P(Z<=z) = P(X+Y<=z) = ∫∫_(x+y<=z) f(x,y) dxdy
=(1/2) ∫_(0<=x<=z) dx ∫_(0<=y<=z-x) (x+y) exp(-x-y) dy
=(1/2) ∫_(0<=x<=z) { x[exp(-x)-exp(-z)] +∫_(0<=y<=z-x) y d[-exp(-x-y)] } dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z) { x[exp(-x)-exp(-z)]- yexp(-x-y)|_(y=0)^(y=z-x)+∫_(0<=y<=z-x) exp(-x-y) dy} dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z) { x[exp(-x)-exp(-z)]- (z-x)exp(-z)+exp(-x) - exp(-z) } dx
=(1/2)∫_(0<=x<=z) [ x exp(-x) - z exp(-z) + exp(-x) - exp(-z) ] dx
=(1/2){ ∫_(0<=x<=z) x d[-exp(-x)] - z^2 exp(-z) + 1 - exp(-z) - z exp(-z) }
=(1/2){ -x exp(-x)|_(x=0^(x=z)+ ∫_(0<=x<=z) exp(-x) dx - z^2 exp(-z) + 1 - exp(-z) - z exp(-z) }
=(1/2){ -z exp(-z) + 1- exp(-z) - z^2 exp(-z) + 1 - exp(-z) - z exp(-z) }
=(1/2)[ 2 - z^2 exp(-z) - 2z exp(-z) - 2exp(-z) ] (z>0)

所以，概率密度 pdf
f(z) = F'(z) = (1/2) [z^2 exp(-z) - 2z exp(-z) + 2z exp(-z) - 2exp(-z) + 2exp(-z) ]
= (1/2) z^2 exp(-z) (z>0)

所以，Z服从Gamma(3,1) 分布追问我想知道f(x,y)=1/2(x+y)e∧-(x+y)，可以得到X和Y的边缘概率密度不
回答当然可以啊， f(x) = ∫ f(x,y) dy , f(y) = ∫ f(x,y) dx。只要注意积分区域或上下限就好。
不过这题积分求边缘密度很容易，上下限很明显。
追问不过我这个 f(x) = ∫ f(x,y) dy , f(y) = ∫ f(x,y) dx不会啊，别的还会，但是又有X和Y我就糊涂了
|_(y=0)^(y=z-x) 这是什么意思啊
回答|_(y=0)^(y=z-x) 表示上下限，下限y=0，上限y=z-x

f(x) = ∫ f(x,y) dy 对y积分，就把 x 作常数对待，
f(y) = ∫ f(x,y) dx 对x积分，就把 y 作常数对待。本回答被提问者和网友采纳

Answer 2

f(z)=∫(0->z)f(x,z-x)dx=∫(0->z) 1/2 z e^(-z)dx=1/2 z e^(-z) [z-0]=1/2 z^2 e^(-z) z>0 其他 0

Answer 3

f(Z) = 1/2(Z)e^-Z,Z>0;追问

我积分不知道哪算错了，得不到这个结果，给点具体的步骤吧！