2009清华自主招生试题改编（数学）

Question

x＞0，y＞0，x+y=1，n∈N+，求证x^2n+y^2n≥1/2^(2n-1)。好像用函数凹凸性解，也好像可以用三角函数解麻烦把步骤写详细些…… 感激不尽……

Answer 1

解：由幂平均不等式有
((a^n+b^n)/2)^(1/n)>=(a+b)/2
这里a,b是非负,n是正整数.
得到
a^n+b^n>=(a+b)^n*2^(1-n)
令a=x^2,b=y^2即有
x^2n+y^2n>=(x^2+y^2)^n*2^(1-n)
再由x^2+y^2>=(x+y)^2/2, 得到
(x^2+y^2)^n*2^(1-n)>=(x+y)^2n*2^(1-2n)
即
x^2n+y^2n>=(x+y)^2n*2^(1-2n)
由x+y=1可见
x^2n+y^2n>=2^(1-2n)
得证.追问

低能不会幂平均不等式，求详细公式，3q

追答

　幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立　　
iff a1=a2=a3=……=an 时取等号　　
加权的形式：　　设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有　　（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β　　if a1=a2=a3=……=an 时取等号。
其证明只需用到数学分析里的琴生不等式(即上下凸性)，取辅助函数F(X)=X^a

追问

已经知道了谢谢

Answer 2

高中的公式，我基本忘了，不知道你们学过导数吗？

y=1-x
另S=x^2n+(1-x)^2n
S'=2n.x^(2n-1)-2n.(1-x)^2n
x=1/2,时， s'=0，有最小值 Smin=1/2^(2n-1)

证得：x^2n+y^2n≥1/2^(2n-1)追问

（1—x）^2n怎么导

追答

（1—x）^2n=2n^(1-x)^(2n-1).(-x)', (-x)'=-1
哦前面的求导打错了S'=2n.x^(2n-1)-2n.(1-x)^(2n-1)

这个证明不完善，中间你要证明（0,1/2）区间，S' ＜0，这个区间单调递减
（1/2），S'＞0 该区间单调递增，所以x=1/2 是最小值。

追问

是2n•（1-x）^（2n-1）吧

追答

-2n.(1-x)^(2n-1)，前面有负号，这种求导，是先对（1-x）整体求导，然后对（1-x）求导，也就是

（1—x）^2n=2n^(1-x)^(2n-1).(1-x)'=2n^(1-x)^(2n-1).(-x)'=-2n^(1-x)^(2n-1)

追问

你把•打成^了，还有为什么有n有x你就知道他在x=1/2时取最小

追答

前面告诉你了，（0,1/2）区间，S' ＜0，后半段（1/2）区间，S'＞0。
函数的一次导数在一个区间＜0，则该区间是单调递减函数，反之，如果＞0，则在该区间单调递增。因此1/2处为最小值。

追问

已经知道了，谢谢

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