本节要求一些经典或量子场论的知识，以及拉格朗日量的使用。
本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子
一个例子：标量 O(n) 规范场论
下面解释了局部规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。
考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。该系统用一个作用量表示，它是每个标量场φi的作用量之和
拉格朗日量可以简明的写作
这是通过引入一个场的矢量
很明显地，拉格朗日量在下面的变换中不变
只要G是一个常数 矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒
其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。
要求这个拉格朗日量必须有局部O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。
不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)，
这意味着定义一个有如下属性的“导数”D
可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是
其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场
而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。
规范场在一点的取值是李代数的一个元素，因此可以展开为
所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。
最后，我们有了一个局部规范不变拉格朗日量
泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。
费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量
这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。
规范场的拉格朗日量
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量的最一般的形式可以（传统地）写作
其中
而迹在场的矢量空间上取。
注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的（参看Sakurai， 高等量子力学，1-4节）。
O(n)规范场论的拉格朗日量成了
一个简单的例子：电动力学
作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑电动力学的情形，只考虑电子场。产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是
该系统的全局对称性是
这里的规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。
“局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。
一个合适的共变导数是
将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量
其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。
为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。
参看：狄拉克方程，麦克斯韦方程组，量子电动力学
