初中数学动点问题

Question

如图，在直角三角形ABC中，∠C等于90°，AB=50,AC=30，D.E.F分别为AC.AB.BC的中点，点P沿点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长得速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长得速度匀速运动，过点Q作射线QK垂直于AB，交折线BC-CA于点G,点P.Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止，设两个点运动的时间为t（t＞0）
求1:D.F两点间的距离
2：射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分，？若能，求t的值，若不能，请说明理由
3：当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好在射线QK上时，求t的值
4：连接PG,当PG平行AB时，请直接写出t的值

Answer 1

如图，在直角三角形ABC中，∠C等于90°，AB=50,AC=30，D.E.F分别为AC.AB.BC的中点，点P沿点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长得速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长得速度匀速运动，过点Q作射线QK垂直于AB，交折线BC-CA于点G,点P.Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止，设两个点运动的时间为t（t＞0）
求1:D.F两点间的距离
2：射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分，？若能，求t的值，若不能，请说明理由
3：当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好在射线QK上时，求t的值
4：连接PG,当PG平行AB时，请直接写出t的值
(1)解析：∵⊿ABC中，∠C=90°，AB=50,AC=30，D.E.F分别为AC.AB.BC的中点
∴DF=1/2*AB=25，DF//AB
(2)解析：∵点P由D出发沿折线DE-EF-FC-CD以7/s匀速运动，点Q由B出发沿BA方向以4/s匀速运动
QK⊥AB交折线BC-CA于点G,点P.Q同时出发
∵四边形CDEF为矩形，当QK运动到了DF中点位置时，显然能将四边形CDEF分成面积相等的两部分
过F作FH⊥AB交AB于H
可证⊿ABC∽⊿FBH==>BH/BC=BF/AB==>BH=40*20/50=16
BQ=BH+1/2*DF=28.5
T=BQ/4=28.5/4=7.125”
即，当Qk运动距离为28.5时，QK分四边形CDEF为面积相等的两部分，时间t=7.125秒。
(3)解析：∵DE=20，EF=15
当P由D运动到E，用时t=20/7”, Q运动4*20/7
当P由E运动到F，用时t=(20+15)/7=5”, Q运动4*5=20>16
∴当P由E运动到F时，Q运动已过F点
当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好在射线QK上时,时间为t
QE/PE=40/50==>(25-4t)/(7t-20)==>t=205/48
(4)解析：连接PG,当PG平行AB时，请直接写出t的值
20-7t=4t*50/40==>t=5/3

Answer 2

解：

（1）∵△ABC是直角三角形且AB=50,AC=30 

        ∴CB=40

        ∵D,E,F分别是AC,AB,BC的中点

     ∴DE,EF,DF是直角三角形ABC的中线

    ∴DF=½AB=25,DE=½CB=20,EF=½AC=15 

       ∴D.F两点间的距离是25

（2）【见图】若四边形CDEF分成面积相等的两部分，

     则四边形CDEF分成梯形CGHD与梯形HEFG

       ∴梯形的上下底必须分别相等 

      即CG=HE

易证△QHE∽ △FEB∽ △QGB

∵点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长得速度匀速运动且EB=25

∴QE=4t－25  QB=4t

∴HE=20t－125/4（20t减125分之4）

  GB=5t

∴CG=40－5t

∴40－5t=20t－125/4        t=57/8

（3）【见图】

   t=185/41，t=15/2

（4）t=5/3或1135/143

Answer 3

，在直角三角形ABC中，∠C等于90°，AB=50,AC=30，D.E.F分别为AC.AB.BC的中点，点P沿点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长得速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长得速度匀速运动，过点Q作射线QK垂直于AB，交折线BC-CA于点G,点P.Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止，设两个点运动的时间为t（t＞0）
求1:D.F两点间的距离
2：射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分，？若能，求t的值，若不能，请说明理由
3：当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好在射线QK上时，求t的值
4：连接PG,当PG平行AB时，请直接写出t的值
(1)解析：∵⊿ABC中，∠C=90°，AB=50,AC=30，D.E.F分别为AC.AB.BC的中点
∴DF=1/2*AB=25，DF//AB
(2)解析：∵点P由D出发沿折线DE-EF-FC-CD以7/s匀速运动，点Q由B出发沿BA方向以4/s匀速运动
QK⊥AB交折线BC-CA于点G,点P.Q同时出发
∵四边形CDEF为矩形，当QK运动到了DF中点位置时，显然能将四边形CDEF分成面积相等的两部分
过F作FH⊥AB交AB于H
可证⊿ABC∽⊿FBH==>BH/BC=BF/AB==>BH=40*20/50=16
BQ=BH+1/2*DF=28.5
T=BQ/4=28.5/4=7.125”
即，当Qk运动距离为28.5时，QK分四边形CDEF为面积相等的两部分，时间t=7.125秒。
(3)解析：∵DE=20，EF=15
当P由D运动到E，用时t=20/7”, Q运动4*20/7
当P由E运动到F，用时t=(20+15)/7=5”, Q运动4*5=20>16
∴当P由E运动到F时，Q运动已过F点
当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好在射线QK上时,时间为t
QE/PE=40/50==>(25-4t)/(7t-20)==>t=205/48
(4)解析：连接PG,当PG平行AB时，请直接写出t的值
20-7t=4t*50/40==>t=5/3

Answer 4

1)连接DF
因为∠C=90°=∠C
又因为点D点F分别为线段CA,CB的中点
所以CD/CA=CF/CB=1/2
所以RT△CDF相似于RT△CAB
所以DF//AB
DF/AB=1/2
所以
DF=25
2)答:能
连接CE
易证.△EFB相似于△ACB
△ADE相似于△ACB
所以∠ADE=∠ACB=90°
∠EFB=∠ACB=90°
所以四边形CDEF为矩形
所以S△CDE=S△EFC=1/2S四边形CDEF
设DF交CE为O QK交DE于H
当QK过O点则将四边形CDEF分为2个面积一样的四边形
因为易证∠OCG=∠OEQ
∠COG=∠EOQ
又因为CO=EO(矩形的对角线互相平分)
所以△COG全等于△EOH
所以SCGO+S四边形CDHG=S三角形CDE=1/2S四边形CDEF
已知O为DF的中点DF为25
FO=12.5
过点C作CT⊥AB于T
点D作DL⊥AB于L
易证△CTA相似于△BCA
所以AT/AC=AC/AB=3/5
所以AT=18
易证△ADL相似于△ACT
所以CA/DA=AT/AL=2/1
所以AL等于9
9+12.5=21.5 50-21.5=28.5
又因为v=4/s
所以t=28.5/4=57/8秒
3)①当点P在EF上（2 67≤t≤5）时，
如图，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得 7t-2050=25-4t30．
∴t=4 2141；
②当点P在FC上（5≤t≤7 67）时，
如图，已知QB=4t，从而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20
4)如图4，t=1 23；如图5，t=7 3943．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 67时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 67当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 67＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）

Answer 5

（2）能．

如图，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，

∵D，F是AC，BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，

∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分

（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），

此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．

故t= 12.5+164=718．

（3）①当点P在EF上（2 67≤t≤5）时，

如图，QB=4t，DE+EP=7t，

由△PQE∽△BCA，得 7t-2050=25-4t30．

∴t=4 2141；

②当点P在FC上（5≤t≤7 67）时，

如图，已知QB=4t，从而PB=5t，

由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．

解得t=7 12；

（4）如图4，t=1 23；如图5，t=7 3943．

（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 67时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 67当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 67＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）