在三角形ABC的内角A,B,C对边分别为a b c 且a/b=1+cosA/cosC 1.求A 2.若a=1，求三角形ABC的面积的最大值

Question

如题所述

Answer 1

解：（1）由余弦定理，可得cosA=
b2+c2−a2
2bc
，cosC=
a2+b2−c2
2ab
，
代入已知等式，得
a
b
＝
1+
b2+c2−a2
2bc
a2+b2−c2
2ab
，…（2分）
即
a2+b2−c2
2b
=b+
b2+c2−a2
2c
，去分母化简得c（a
2
+b
2
-c
2
）=2b
2
c+b（b
2
+c
2
-a
2
），
整理，得（b+c）（b
2
+c
2
-a
2
）=0，
∵b+c＞0，∴b
2
+c
2
-a
2
=0，…（6分）
因此，b
2
+c
2
=a
2
可得△ABC是以A为直角的直角三角形，得A=
π
2
．…（8分）
（2）由（1）知b
2
+c
2
=a
2
=1，
又∵b
2
+c
2
≥2bc，∴bc≤
1
2
b
2
+c
2
，可得bc≤
1
2
（当且仅当b=c时取“=”），…（10分）
∵△ABC的面积S=
1
2
bc，∴S≤
1
2
×
1
2
=
1
4
，
即当且仅当b=c=
2
2
时，△ABC的面积的最大值为
1
4
．…（12分）