第1个回答 2013-10-13
中考压轴题24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是 上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若 ＝4 ，求△ABC的周长.CPDOBAE【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝ ，借助勾股定理可求得AF的长；FCPDOBAEHG（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；（3）由题可知 ＝ DE (AB＋AC＋BC)，又因为 ，所以 ，所以AB＋AC＋BC＝ ，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝ DH＝ DE，同理可得CG＝ DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝ DE＋ ，可得 ＝ DE＋ ，解得：DE＝ ，代入AB＋AC＋BC＝ ，即可求得周长为 ．【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．FCPDOBAEHG∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝ OP＝ ，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝ ＝ ＝ ，∴AB＝2AF＝ ．（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因为∠DAE＋∠DBA＝ ∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴ ＝ AB�6�1DE＋ BC�6�1DH＋ AC�6�1DG＝ (AB＋BC＋AC) �6�1DE＝ l�6�1DE．∵ ＝4 ，∴ ＝4 ，∴l＝8 DE.∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝ ∠ACB＝30°，∴在Rt△CGD中，CG＝ ＝ ＝ DE，∴CH＝CG＝ DE．又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l＝AB＋BC＋AC＝2 ＋2 DE＝8 DE，解得DE＝ ，∴△ABC的周长为 ． 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题 25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 ＝－ ＋ 交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与 的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ ，如图25-a，图1 此时E（2b，0）∴S＝ OE·CO＝ ×2b×1＝b②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 ＜b＜ ，如图2图2此时E（3， ），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )]＝ ∴ （2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图3由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，tan∠DEN＝ ，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM 的边长为a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知： ，∴ ∴S四边形DNEM＝NE·DH＝ ∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ． 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．