八年级下册数学题：Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠A。求证AC²÷ AD² = BC÷2BD

Question

如图 ，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交边BC于点D.求证AC²÷ AD² = BC÷2BD

Answer 1

设AC=b,AB=c,BC=a,
∵AD是Rt△ABC的角平分线,
∴b/c=CD/BD=CD/(a-CD)=(a-BD)/BD
∴CD=ab/(b+c),BD=ac/(b+c)
∴2BD/BC=2c/(b+c)
∵AD²=AC²+DC²,
∴AD²/AC²=(AC²+DC²)/AC²=1+DC²/AC²=1+[ab/(b+c)]²/b²=1+a²/(b+c)²=[(b+c)²+a²]/(b+c)²
=(a²+b²+c²+2bc)/(b+c)²=(2c²+2bc)/(b+c)²=2c/(b+c)
∴AC²/AD²＝BC/2B追问

b/c=CD/BD=CD/(a-CD)=(a-BD)/BD什么意思

Answer 2

设AC=b,AB=c,BC=a,
∵AD是Rt△ABC的角平分线,
∴b/c=CD/BD=CD/(a-CD)=(a-BD)/BD
∴CD=ab/(b+c),BD=ac/(b+c)
∴2BD/BC=2c/(b+c)
∵AD²=AC²+DC²,
∴AD²/AC²=(AC²+DC²)/AC²=1+DC²/AC²=1+[ab/(b+c)]²/b²=1+a²/(b+c)²=[(b+c)²+a²]/(b+c)²
=(a²+b²+c²+2bc)/(b+c)²=(2c²+2bc)/(b+c)²=2c/(b+c)
∴AC²/AD²＝BC/2B
/是除法的意思

Answer 3

证明：因为AD是角A的平分线
所以AC/AB=CD/BD
因为BC=CD+BD
所以AC/AB=CD/BD=CD/BC-CD=BC-BD/BD=AC+AB/AC=BC/CD
所以CD=AC*BC/AC+AB
BD=BC*AB/AC+AB
因为角C=90度
所以三角形ACD是直角三角形
所以AD^2=AC^2+CD^2
所以AD^2/AC^2=AC^2+DC^2/AC^2=1+(DC/AC)^2=1+[(AC*BC/AC+AB)^2/AC]^2=1+[BC^2/(AC+AB)^2]
=(AC^2+AB^2+2AC*AB+BC^2)/(AC+AB)^2
=(2AB^2+2AC*AB)/((AC+AB)^2
=2AB/(AC+AB)
=2BD/BC
所以AD^2/AC^2=2BD/BC

Answer 4

证明过程：设AC=b,AB=c,BC=a,
∵AD是Rt△ABC的角平分线,
∴b/c=CD/BD=CD/(a-CD)=(a-BD)/BD
∴CD=ab/(b+c),BD=ac/(b+c)
∴2BD/BC=2c/(b+c)
∵AD²=AC²+DC²,
∴AD²/AC²=(AC²+DC²)/AC²=1+DC²/AC²=1+[ab/(b+c)]²/b²=1+a²/(b+c)²=[(b+c)²+a²]/(b+c)²
=(a²+b²+c²+2bc)/(b+c)²=(2c²+2bc)/(b+c)²=2c/(b+c)
∴AC²/AD²＝BC/2B

Answer 5

过d作de垂直ab于e,有三角形的公式（1：底乘高除2。 2： 1/2*ab*ac*sina）,角cab为2a.
bc=(ac*ab*sin2a)/ac=ab*sin2a 同理：cd=de bd=ab*de/ac=ab*cd/ac
所以：bc/2bd=(ab*sian2a)/2*ab*cd/ac=sian2a*ac/2cd=sianaconsa*ac/cd
=(cd/ad)*(ac/ad)*ac/cd=AC/AD²