法律分析：银行多给钱是负责此交易的银行柜员的责任，是银行的责任，但银行在通知储户多给钱后，储户拒不归还，就是储户的责任。据相关法律规定，得利人知道或者应当知道取得的利益没有法律根据的，受损失的人可以请求得利人返还其取得的利益并依法赔偿损失。如果，银行多给的钱款数目较大，在向储户追回时，储户拒不归还的部分属于不当得利，可能会被起诉。
法律依据：《中华人民共和国民法典》
第九百八十五条 得利人没有法律根据取得不当利益的，受损失的人可以请求得利人返还取得的利益，但是有下列情形之一的除外：（一）为履行道德义务进行的给付；（二）债务到期之前的清偿；（三）明知无给付义务而进行的债务清偿。
第九百八十七条 得利人知道或者应当知道取得的利益没有法律根据的，受损失的人可以请求得利人返还其取得的利益并依法赔偿损失。