第1个回答 2019-01-18
海伦公式
的几种另证及其推广
关于
三角形
的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的
对边
，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p
=
(a+b+c),则
S△ABC
=
aha=
ab×sinC
=
r
p
=
2R2sinAsinBsinC
=
=
其中，S△ABC
=
就是著名的海伦公式，在
希腊
数学家
海伦的
著作
《测地术》中有记载。
海伦
公式
在解题中有十分重要的应用。
一、
海伦公式的变形
S=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
S△ABC
=
aha=
a×
=
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t
2
=
证明：由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
S△ABC
=
aha
=
a
×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②
S
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－2abcosC
对其进行证明。
证明：要证明S
=
则要证S
=
=
=
ab×sinC
此时S
=
ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C
=180○那么
tg
·
tg
+
tg
·
tg
+
tg
·
tg
=
1
证明：如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得：
+
+
=
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z)
=
xyz
④
如图可知：a＋b－c
=
(x+z)＋(x+y)－(z+y)
=
2x
∴x
=
同理：y
=
z
=
代入
④，得：
r
2
·
=
两边同乘以
，得：
r
2
·
=
两边开方，得：
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
S△ABC
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg
=
tg
=
tg
=
证明：根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得：
r3
=
×xyz