傅立叶变换是一个复杂的数学概念，源于法国数学家傅立叶的研究，他提出任何连续周期信号可以由一组正弦曲线组合而成。起初，傅立叶的理论在拉格朗日等人的质疑下未能立即被接受，但后来证明了他的方法在逼近表示信号时的有效性。
傅立叶变换分类广泛，包括非周期性连续信号傅立叶变换、周期性连续信号傅立叶级数、非周期性离散信号离散时域傅立叶变换和周期性离散信号离散傅立叶变换。它的核心在于将信号分解成正弦或余弦波的组合，便于处理和分析。正弦波的特性，如频率不变性和幅度变化，使得它在信号处理中尤为重要。
对于非周期性信号，需要无限多的正弦波来表示，但计算机处理的是有限数据。为此，离散傅立叶变换（DFT）应用于离散信号，通过扩展信号或复制信号的方法，将有限长度信号转换为非周期性离散信号进行处理。
傅立叶变换在实际应用中尤其显著，如图像处理，图像的频率分布对应于灰度变化的剧烈程度。通过傅立叶变换，图像从空间域转换到频率域，这使得分析变得直观，例如，低频部分表示平滑区域，高频部分表示边界或细节。在信号分析中，傅立叶变换和其快速算法FFT（快速傅里叶变换）帮助提取频谱信息，简化了复杂的卷积运算。
傅立叶变换的物理意义在于，它揭示了信号由不同频率成分组成，这些频率成分的幅度和相位可以通过变换直接计算。例如，一个信号的频谱分析结果可以告诉我们其频率分布，以及每个频率的幅度和相位，这对于理解信号的本质和处理至关重要。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。