设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（...

Question

设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=2x+1+k为闭函数，则k的取值范围是（　　）A．（-1，-12]B．[12，1﹚C．（-1，+∞）D．（-∞，1）

Answer 1

解：若函数f（x）=2x+1+k为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即a=2a+1+kb=2b+1+k，
∴a，b是方程x=2x+1+k的两个实数根，
即a，b是方程x2-（2k+2）x+k2-1=0（x≥-12，x≥k）的两个不相等的实数根，
当k≤-12时，△=[-(2k+2)]2-4(k2-1)＞0f(-12)=14+12(2k+2)+k2-1≥0 2k+22＞-12，解得-1＜k≤-12．
当k＞-12时，△=[-(2k+2)]2-4(k2-1)＞0f(k)=k2-(2k+2)k+k2-1＞02k+22＞k，无解．
故k的取值范围是（-1，-12]．
故选A．