第4个回答 推荐于2016-05-26
冰雹猜想
1976年的一天,于头版头条报道了一条数学新闻.文中记叙了这样一个故事：
70年代中期,美国各所名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日,废寝忘食地玩弄一种数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N,并且按照以下的规律进行变换：
如果是个奇数,则下一步变成3N+1.
如果是个偶数,则下一步变成N/2.
不单单是学生,甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这种游戏的魅力经久不衰?因为人们发现,无论N是怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说,是无法逃出落入底部的4-2-1循环,永远也逃不出这样的宿命.
如果从2n出发,不论n如何庞大,就像瀑布一样迅速坠落.而其他的数字即使不是如此,在经过若干次的变换之后也必然会到4-2-1的循环.据日本和美国的数学家攻关研究,在小于7*1011的所有的自然数,都符合这个规律.
这就是著名的“冰雹猜想”.
冰雹的最大魅力在于不可预知性.英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27.虽然27是一个貌不惊人的自然数,但是如果按照上述方法进行运算,则它的上浮下沉异常剧烈：首先,27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232,然后又经过32步骤到达谷底值1.全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步,其顶峰值9232,达到了原有数字27的342倍多,如果以瀑布般的直线下落（2的N次方）来比较,则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方.其对比何其惊人!
但是在1到100的范围内,像27这样的剧烈波动是没有的（54除外,他和27只有一步之遥）.
经过游戏的验证规律,人们发现仅仅在兼具4k和3m+1（k,m为自然数）处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉.所以在冰雹树中,16处是第一处分叉,然后是64……以后每隔一节,产生出一支新的支流.
自从Conway发现了神奇的27之后,有专家指出,27这个数字必定只能由54变来,54又必然从108变来,所以,27之上,肯定可以出现不亚于2n的强大支流——33*2n(n=1,2,3……),然而,27到4-2-1数列和本流2到4-2-1数列要遥远的多.按照机械唯物论的观点,从27开始逆流而上的数列群才能叫做本源,尽管如此,按照“直线下泻”的观点,一般依然把1-2-4-8……2n的这一支看作是“干流”.
图论专家据此阐述了一种独特的方法：把数列群比作是一棵树,4-2-1数列是连理枝,至于上面的分支构成了一个奇妙的数列通路,包含了所有的自然数.但是非常可惜的是,这个理论至今也没有人可以证明.所以“冰雹猜想”还是数学皇冠上一颗尚未鉴别的宝珠.
又称为角谷猜想,因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国
数学的猜想.
对于任何一个自然数A,
(1)a.如果A为偶数,就除以2
b.如果A为奇数,就乘以3加上1
得数记为B
(2)将B代入A重新进行(1)的运算
若干步后,得数为1.
这个猜想,目前没有反例,也没有证明.
但也有许多人曾经尝试去求证这个问题：
最简单的证明角谷（3n+1）猜想的方法
因为任何偶数都能变成2^a或一个奇数乘2^b.前者在不停的除以2之后必定为1,因为它们只有质因数2.而后者则只能剩下一个奇数,我们可以把偶数放在一边不谈.
现在只剩下奇数了.
我们假设一个奇数m,当他进行运算时,变成3m+1.如果这个猜想是错误的话,那么就有（3m+1）/2^c＝m,且m不等于1.我们尝试一下：
当c＝1时,3m+1＝2m,m＝-1,不符合,舍去；
当c＝2时,3m+1＝4m,m＝1,不符合,舍去；
当c＝3时,3m+1＝8m,m＝0.2,不符合,舍去；
当c＝4时,3m+1＝16m,m＝1/13,不符合,舍去；
……………………
可见,能推翻角古猜想的数只在1或以下的范围,所以没有数能推翻这个猜想,所以这个猜想是正确的.
还有一种
本文应用二项式定理,证明了角谷猜想（3n+1）是成立的.
介绍
从任何一个正整数开始,连续进行如下运算：
若是奇数,就把这个数乘以3再加1；若是偶数,就把这个数除以2.一直按这个规则算下去,到最后一定会出现4、2、1的循环.
比如,要是从1开始,就可以得到1→4→2→1；要是从17开始,则可以得到17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.自然地,有人可能会问：是不是每一个正整数按这样的规则演算下去都能得到1呢?这个问题就是叙拉古猜想,也叫科拉兹猜想或角谷猜想.
证明
因为任一偶数2m除以2,到最后一定会是一个奇数(2m+1),因此证明只需证明对于每一个奇数按这样的规则演算下去都能得到1,角谷猜想就成立.
根据二项式定理：
可得到：
当是n奇数,n=2m+1时,
根据代数恒等式：
可得到：
而因此令得到:
即任何一个奇数(2m+1)通过乘以3再加1{ }和除以2{ }两种运算都能得到一个形如 的偶数,而形如 的偶数通过除以2最后都能得到1.
结论
角谷猜想（3n+1）是成立的,事实上,即使是偶数通过乘以3再加1和除以2两种运算最后都能得到1.
例如,从4开始,把4乘以3再加1,可以得到
4→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,
从6开始,把6乘以3再加1,可以得到
6→19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
我不敢苟同以下这种所谓的证明：
“我们假设一个奇数m,当他进行运算时,变成3m+1.如果这个猜想是错误的话,那么就有（3m+1）/2^c＝m,且m不等于1.我们尝试一下：
当c＝1时,3m+1＝2m,m＝-1,不符合,舍去；
当c＝2时,3m+1＝4m,m＝1,不符合,舍去；
当c＝3时,3m+1＝8m,m＝0.2,不符合,舍去；
当c＝4时,3m+1＝16m,m＝1/13,不符合,舍去；
.
可见,能推翻角古猜想的数只在1或以下的范围,所以没有数能推翻这个猜想,所以这个猜想是正确的.”
要知道（3m+1）/2^c＝m这个等式左右两边的m是不一样的,虽然两个m都是奇数,但此m非彼m,你无非就是想说一个奇数乘以3再加1必定可以被2的n次方除尽,当然n到底是多大要看实际情况而定.不信大家可以试一试,左边代入任意奇数m,右边得出的m绝大多数都是跟左边代入任意奇数m不同的.还有就是这个证明明显存在前后矛盾,前面假设一个奇数m,后面却得出m＝0.2、m＝1/13这样的结果,难道0.2、1/13这些就是所谓的奇数?连两个m都分不清,更何况是证明呢?大家不要再犯这样的低级错误了呀,脚踏实地才是真.
角谷猜想的一个推广
角谷猜想又叫叙古拉猜想.它的一个推广是克拉茨问题,下面简要说说这个问题：
50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题:任意给定一个自然数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是奇数,则变换成3x+1.此后,再对得数继续进行上述变换.例如x=52,可以陆续得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循环:
(4,2,1).再试其他的自然数也会得出相同的结果.这个叫做叙古拉猜想.
上述变换,实际上是进行下列函数的迭代
{ x/2 (x是偶数)
C(x)=
3x+1 (x是奇数)
问题是,从任意一个自然数开始,经过有限次函数C迭代,能否最终得到循环(4,2,1),或者等价地说,最终得到1?据说克拉茨(L.Collatz)在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过,因而许多人称之为克拉茨问题.但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题,所以,从此以后也许为了避免引起问题的归属争议,许多文献称之为3x+1问题.
克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂,问题就解决了,而2的幂有无穷多个,人们认为只要迭代过程持续足够长,必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决.正是这种信念使得问题每到一处,便在那里掀起一股"3x+1问题"狂热,不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题.许多数学家开始悬赏征解,有的500美元,有的1000英镑.
日本东京大学的米田信夫已经对240大约是11000亿以下的自然数做了检验.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆兰(M.Vermeulen)已经对5.6*1013的自然数进行了验证,均未发现反例.题意如此清晰,明了,简单,连小学生都能看懂的问题,却难到了20世纪许多大数学家.著名学者盖伊(R.K.Guy)在介绍这一世界难题的时候,竟然冠以"不要试图去解决这些问题"为标题.本回答被提问者和网友采纳