锐角的度数是有理数，它的三角函数是代数数还是超越数啊？有的说全是代数数，有的答案说大部分是超越数。

Question

三角函数是代数数还是超越数啊？有的说全是代数数，有的答案说大部分是超越数。到底哪个是课本上的说法?
能详细讲讲在那本书哪一章吗？书上怎么证明的?

Answer 1

代数数

Answer 2

如果度数指的是角度m/n, 即化成弧度是有理数a=mπ/(180n), 那么其三角函数都是代数数。

比如余弦cos(180na)是关于cosa的多项式（系数都为有理数），而cosmπ=1或-1.

因此cosa必为代数数。而sina为方程x^2=1-(cosa)^2的根，也是代数数。

如果角度指的是弧度x=m/n, m,n为整数
那么通常根据公式cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-.....来证明cosx不是有理数。
而有个定理，说明了e^x的超越性（当x为代数数时）
根据cosx=[e^ix+e^(-ix)]/2 来证明它是超越数。

可以参考：初等数论：代数数与超越数
http://wenku.baidu.com/view/c774617d27284b73f2425058.html来自：求助得到的回答本回答被提问者采纳

Answer 3

全是代数数。