第1个回答 2012-06-19
答案是否定的。华东师大数学分析原题
第2个回答 2012-06-18
结论不对。
可以这样构造：
取三个点（n－1/n^3，0），（n，n），（n+1/n^3，0），
然后用折线连接这三个点。
其余点的函数值都是0。
这个函数是非负连续函数，
每一个小三角形的面积是1/n^2，因此积分值存在。
但平方后，在【n－1/n^3，n+1/n^3】上的积分值是2/(3n)，
因此f^2(x)的积分值不存在。
ps:我感觉还可以继续光滑化。
可以这样构造：
取三个点（n－1/n^3，0），（n，n），（n+1/n^3，0），
然后用折线连接这三个点。
其余点的函数值都是0。
这个函数是非负连续函数，
每一个小三角形的面积是1/n^2，因此积分值存在。
但平方后，在【n－1/n^3，n+1/n^3】上的积分值是2/(3n)，
因此f^2(x)的积分值不存在。
ps:我感觉还可以继续光滑化。
第3个回答 2012-06-18
这个命题是不成立的，反例见参考资料。
反例中的f是不连续的，再精心构造一下，能构造出f连续的反例。本回答被提问者采纳
反例中的f是不连续的，再精心构造一下，能构造出f连续的反例。本回答被提问者采纳
第4个回答 2012-06-18
这个要看xf^2(x)[a,+∞)存在不存在。如果存在，用分步积分法，后面一项也是收敛的。
第5个回答 2012-06-19
这是华东师大版数学分析课后习题，令f(X)=SinX/x^(3/2),此时原积分绝对收敛，（因|Sinx/x^(3/2)|<=/1/x^(3/2)，又3/2>1，）但平方后积分发散。举出此反例，谢谢！
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