希望能给与矩阵特征值与秩之间的关系？

Question

如题所述

Answer 1

可以从Jordan标准型入手。
定理：n阶矩阵A的Jordan标准型是J，那么J和A具有相同的秩，即rank(J) = rank(A)
令A or J的0特征值个数为p满足0 <= p <= n，对应的Jordan块个数为q满足0 <= q <= p <= n，那么矩阵A or J的秩为n - q。其中p叫做0特征值的代数重数，q叫做0特征值的几何重数。
换句话说，矩阵A的秩等于矩阵的阶数减去0特征值的几何重数 as rank(A) = n - geomul(0)。
还可以从零子空间NULL(A)来说明，不过没有Jordan标准型的解释方便。