高等数学的问题 导数，大家帮忙哦 罗尔定理条件，邻域 连续 定义式

Question

1，某点导数的定义式：f‘（1）=lim f（x）-f（1）/ x-1
这里的x有范围吗？是在整个函数定义域上的，还是在一个很小的 1 的邻域内呢？

2，如果一个函数f（x）不连续，是否无法用罗尔定理
看来我理解没错 感谢下面回答的网友 不论选了谁，别人都别伤心，你们都是好样的！祝大家学有所成 服务社会！

Answer 1

1.只要x有定义即可，没有范围，但是你最后要取极限，离得很远的点是没有实际作用的。这个定义不如用数列定义直观，找一个数列xn趋向于1，(f(xn)-f(1))/(xn-1)也可以定义为导数，这两个是一样的，数列xn是随意取值的，但是要趋向于1，因此离1很远的点实际上是不起作用的，只考虑非常靠近1的点即可。换一个角度说，任取1的一个小邻域比如叫U，因为xn是趋于1的，因此一定有无穷多个点在U里边，你把U外边的点都扔了不要，剩下的点记为yn,yn仍然是趋向于1的，用yn一样可以求导数，这个时候就相当于只在U上考虑x了。所以说虽然严格上讲，x是随意取值的，但实际上还是在小邻域里，外边的没有效果而已。
上边说的比较不严谨，为了更直观，你可以想象一下。
2.不连续不可以用洛尔定理，即使连续也不一定能用，要看清条件，一定要在开区间上可导！！！随意举一个例子：绝对值函数，在±1点的函数值都是1，但是中间就不存在导数为0的点，因为0点的不可导。

Answer 2

1.在一个很小的 1 的邻域内；
2.当然不能用。例如：f(x)=|x|，区间[-1，1]。

Answer 3

1,f^' (x0)=lim┬(x→x0)⁡〖(f(x)-f(x0))/(x-x0)〗
2,不但要连续还要可微。

Answer 4

1，很小范围
2，嗯