高等代数理论基础36：正定二次型

Question

如题所述

Answer 1

定义：给定实二次型 ,若对任意一组不全为零的实数 都有 ,则称 是正定的

例：二次型 是正定的

注：

1.实二次型 是正定的

2.设实二次型 是正定的,经过非退化线性替换 变成二次型 ,则 也是正定的

即对任意一组不全为零的实数 ,有

令 ,可得 对应的一组值,设为

即

C可逆,因而

故当 不全为零时, 也不全为零

显然

3.非退化线性替换保持正定性不变

定理：n元实二次型 是正定的 它的正惯性指数等于n

证明：

注：正定二次型 的规范形为

定义：对实对称矩阵A,若二次型 正定,则称A正定

注：一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合同

推论：正定矩阵的行列式大于零

证明：

定义：子式

称为矩阵 的顺序主子式

定理：实二次型 正定 矩阵A的顺序主子式全大于零

证明：

定义：设实二次型 ,对任一组不全为零的实数 ,若 ,则称 负定,若 ,则称 半正定,若 ,则称 半负定,若 既不是半正定,又不是半负定,则称为不定的

注： 是负定时, 为正定的

定理：对实二次型 ,其中A为实对称的,则

注：仅顺序主子式大于或等于零不能保证半正定性

例：