线性代数中的正交子空间与立体几何中的平面垂直的定义有矛盾？

Question

线性代数中的正交子空间似乎与立体几何中的平面垂直的定义有矛盾啊？立体几何中的垂直平面，在线性代数中不一定是正交子空间。比如教室中的黑板与地面，在立体几何中属于垂直平面的，但在线性代数中却不属于R3中的正交子空间。因为线性代数中的正交子空间，要求子空间的每一个向量都与另一个子空间的每一个向量垂直，而黑板和地面却存在互相不垂直的向量。

那么既然如此，请问线性代数中的子空间的正交的本质是什么

Answer 1

这两个概念确实不完全一致，主要的问题在于立体几何里的定义隐藏了一些东西

两个子空间之间有多个经典角
比如一个m维子空间和一个n维子空间之间有min{m,n}个经典角
两个子空间垂直的意思是说两个子空间之间的所有经典角都是90度
对于立体几何而言，两个平面间的经典角有两个，其中一个永远是0，所以隐藏掉不考虑了，只考虑余下那个有用的，这就是为什么立体几何里的两平面垂直不符合一般子空间垂直的定义的道理，但是两直线之间的夹角或者是线面夹角仍然和经典角一致追问

谢谢大师回答，不过还想请教一下经典角是什么？请问线性代数这门课有部分内容有关于经典角的知识？

追答

如果U和V是R^n的两个子空间
x_1,...,x_m是U的一组标准正交基
y_1,...,y_n是V的一组标准正交基
然后定义一个m*n的矩阵G，G的(i,j)元素为（即x_i和y_j的内积）
那么G有k=min{m,n}个奇异值，并且都介于[0,1]之间，所以可以记成cos(t_1),...,cos(t_k)
这里的t_1,...,t_k（在[0,pi/2]之间）就是U和V所构成的k个经典角

这个概念用到的知识相对比较高级，大多数线性代数的教材最多会对奇异值进行介绍，但一般不会涉及经典角

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