第1个回答 2022-06-30
title: DALS021-MDS与PCA
date: 2019-08-21 12:0:00
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这一部分是《Data Analysis for the life sciences》的第8章统计模型的第2小节，这一部分的主要内容涉及MDS和PCA，相应的Rmarkdown文档可以参考作者的 Github 。
MDS的全称为multi-dimensional scaling，即多维数据缩放。在这 一部分中，我们会使用基因表达的数据来作为案例讲解一下。为了简化说明，我们仅考虑3个组织：
结果如下所示：
现在我们要研究一下这个数据集，我们想知道，储存在 mat 列中的基因表达谱的数据在不同的组织间的相似性如何。由于数据很大，无法直接画出相应的多维点图。我们通常只能绘制出二维图形，如果我们要绘制出每两个样本之间的基因表达情况不现实。而MDS图形就是为了解决这个问题而提出来的。
前面我们已经知道了SVD和矩阵代数，那么我们理解MDS就相对清楚了。为了说明MDS，我们先来看一下SVD分解，如下所示：
我们假设 的前两列的平方和剩余列的平方和。因此它们可以写为 其中 是 是第i列（原文是i-th entry）。当出现这种情况时，我们就会得到如下公式：
这就表明，第 列近似等于：
如果我们们定义下面的二维向量：
那么：
上面的这个推导告诉我们，在样本 和样本 之最的距离近拟等于下面二维数据点的距离：
因为 是一个二维向量，因此我们可以通过绘制 和 来发展示这两个样本的距离。现在我们绘制出它们的距离：
从图片上我们可以看出，数据点按照相应的组织区分开来了。上面的这种分开的精确近似取决于前两个主成分解释变异的程度。像上面那样所示，我们可以绘制出每个主成分可以解释的变异程度：
虽然前两个主成分解释了超过50%的变异，不过前面的图形还是没有展示出大量的信息。但是这种图已经足够用于进行可视化大量的数据了。此外，我们还可以注意到，我们能够绘制其它的主成分来研究这些数据点，例如我们绘制第3个和第4个主成分：
从上面图形中我们可以看到，第4个主成分能够将肾脏组织的样本强烈分开。在后面的部分中，我们会讲到批次效应(batch effects)会解释这种情况。
我们在上面使用了 svd() 函数来进行计算，不过R中有一个专门的函数用于计算MDS，生成MDS图。这个函数就是 cmdscale() 函数，这个函数将距离对象作为参数，然后使用主成分分析来对这些距离进行近似计算。这个函数比使用 svd() 函数更高效（因为不可能实现完全的 svd() 函数计算，那样比较花时间）。此函数默认返回二维的数据，不过我们通过设定参数 k （默认情况下， k=2 ）可以改变结果中的维度：
再看另外一个：
SVD并非是唯一的，只要我们用 -1 乘以 的样本列，我们就能使用 -1 乘以 的任意列，通过下面的转换我们就能看出来（这一段不懂）：
在所有的计算中，当我们计算SVD时，都会扣除行(row)的均值。如果我们要试图计算两列之间的近似距离，那么在 和 之间的距离就与 和 之间的距离相同，因为当我们过计算时，中间的 就会被消去：
因为扣除行均值可以降低总的变异，它可以使得SVD的结果近更为逼近。
P357
PCA的相关资料可以参考作者的 Github 。
前面我们已经提到了PCA，这里继续深入一步，讲一下PCA背后的数学原理。
我们先使用模拟数据的案例展示一个旋转，这个旋转与PCA有着很大的有关系：
这里我们专门来解释一下什么是什么成分（principla components）。
我们使用 这个 矩阵来表示我们的数据。这个类似于我们检测了两组基因的信息，每列表示1个样本。现在我们的任何就是，找到一个 向量 ，使其满足 ，它能使 最大。这个过程可以被视为每个样本，或 向子空间 的投影。因此，我们需要将坐标系进行置换，使新的坐标系能够显示出最大变异。
我先试一下 。这个投影公仅能够给出双胞胎1的身高（橘黄色）。图片标题中显示的是平方和。
我们能否找到一个方向，使得坐标系旋转后，能够表示更高的变异？例如
这个怎么样？它不满足 ，因此我们可以使用另外一个向量，即
这个图形与双胞胎的差异有关，我们知道这个差异很少的。通常平方和我们可以确实这一点，最后我们试一下这个向量：
这个图形与重新缩放(re-scaled)后的平均高度有关，它有着最大的平方和。这是一个数学计算程序，它能够计算出一个 ，能够使平方和最大，SVD就是这样的一个程序。
正交向量能够使平方和最大：
指的就是第1PC。e用于获得PC的加权(weights) 指的就是因子载荷(loadings)。使用旋转这种操作，它指的就是第1PC的旋转方向。
为了获得第2PC，我们可以重复上述操作，但是残差如下：
第2PC的向量含有以下性质：
它能使 最大，
当 是 时，我们可以重复地找到第3，第4，第5，等主成分。
我们已经介绍了如何使用SVD来计算PC。介理，R中有一个专门的函数可以用于找到主成分，即 prcomp() ，在这个案例中，数据默认中心化的，这个函数的使用如下所示：
计算出的结果与SVD相同，直到符号翻转（produces the same results as the SVD up to arbitrary sign flips，实在没理解这句话什么意思）
因子载荷可以通过下面方式计算：
计算结果如下所示：
它就相当于 (up to a sign flip？这个不懂) :
计算结果如下所示：
解释的方差等价于：
计算结果如下所示：
现在我们将 Y 转置一下，因为 prcomp() 函数与我们平时所用的高通量数据储存有点不太一样，平时我们的数据是列为样本，行为特征值，而 prcomp() 函数则是正好相反，它处理的数据列是特征值，行是样本名。