第1个回答 2022-11-20
什么叫矩阵的秩
将矩阵做初等行变换后，非零行的个数叫行秩
将其进行初等列变换后，非零列的个数叫列秩
矩阵的秩是方阵经过初等行变换或者列变换后的行秩或列秩
什么是矩阵的秩
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6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
教学目的:
1. 掌握矩阵的秩和它的行空间,叮空间维数之间的关系.
2. 准确地确定齐次线性方程组解空间维数.
3. 熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性方程式组的任意解.
教学内容:
1. 阵的秩的几何意义.
设给了数域F上一个m*n矩阵
A=
矩阵A的每一行可以看成F的一个向量,叫做A的行向量.A的每一列可以看成F的一个向量,叫做A的列向量,令a,...,a是A的列向量,这里
a=(a,a,...,a),I=1,...,m.
由a,a,...,a所生成的F的子空间￡(a,a,..., a)叫做矩阵A的行空间.类似的,由A的n个列向量所生成的F的子空间叫做A的列空间.
当m≠n时,矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间,
引理6.7.1 设A是一个n*m矩阵
如果B=PA,P是一个N阶可逆矩阵,那么B与A有相同的行空间.
如果C=AQ,Q是一个n阶可逆矩阵,那么C与A有相同的列空间.
证:我们只证明(I),因为(ii)的证明完全类似.
A=(a)mn, P=(p)mm,B=(b)mn.
令{a1,a2…am}是A的行向量,{b1,b2,…,bm}是B的行向量.B的第I行等于P的第I行等于P的第P的第I行右乘以矩阵A:
bi=(bi1,bi2…,bin)=(pi1,pi2,…pim)A=pi1a1+pi2a2,…+pimam,
所以B的每一个行向量都是A的行向量的线性组合,但P可逆,所以A=P-1B.因此A的每一个行向量都是B的行向量的线性组合,这样,向时组{a1,a2,…,am}与{b1,b2,…,bm}等价,所以它们生成Fn的同一子空间.
我们知道,对于任意一个m*n矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使
(1) PAQ=
这里r等于A的秩,两边各乘以Q得
PA=Q
右端乘积中后m-r行的元素都是零,而前r 行就是Q-1的前r行.由于Q-1可逆,所以它的行向量线性无关因而它的前r行也线性无关.于是PA的行空间的维数等于r.由引理6.7.1,A的行间的维数等于r ,另一方面,将等式(1)左乘以P-1得
AQ= P
由此看出,AQ的列空间的维数等于r,从而A的列空间的维数也等于r,这样就证明了
定理6.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.
由于这一事实,我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数;也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数.
数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
线性方程组的解的结构:设
a11x1+a12x2+…a1nxn=0
a21x1+a22x2+…a2nxn=0
(3)
......>>
矩阵的秩和其伴随矩阵的秩有什么关系？
设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，两者的秩的关系如下：
r(A*) = n, 若r(A)=n
r(A*)=1, 若r(A)=n-1；
r(A*)=0，若r(A)
证明如下所示：
若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；
若秩r(A)
若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*=|A|E=0
从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.
矩阵的维数和矩阵的秩有什么区别
矩阵的维数就是矩阵的秩，但是一般在线性空间中才多提到维数。
矩阵的秩是什么 麻烦讲得通俗易懂 10分
就他妈是方程的个数，你平常解方程怎么解的，是不是就把两个方程相互加减啊，有的时候你把方程相加减最后你会发现有一对甚至更多的方程是一样的，这些一样的方程就等价于一个方程，然后加上其他的那些乱七八糟的方程，就是秩
向量的秩是什么
单一的向量没有秩
只有矩阵有秩
矩阵的秩本质上来说是矩阵行空间和列空间的维数
因为同一个矩阵行空间和列空间的维数是相同的所以统称为秩