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    • （2007?海淀区一模）四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=3，∠ACB=90°．

    （2007?海淀区一模）四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=3，∠ACB=90°．（I）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角D-PC-A的大小；（Ⅲ）求点B到平面PCD的距离．

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    第1个回答  2015-01-30
    解：法一
    （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
    ∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
    又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（4分）
    （2）∵AB∥CD，∴∠DAB=120°
    ．∠ADC=60°，又AD=CD=1，∴△ADC为等边三角形，且AC=1．
    取AC的中点O，则DO⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DO，
    ∴DO⊥平面PAC过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，
    由三垂线定理知DH⊥PC．∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角．
    由OH＝
    3
    4
    ，DO＝
    3
    2
    ．
    ∴tanDHO＝
    DO
    OH
    ＝2    ，∴∠DHO=arctan2．
    ∴二面角D-PC-A的大小为arctan2；（9分）
    （3）设点B到平面PCD的距离的距离为d．
    ∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD．
    ∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．（11分）
    ∵VA-PCD=VP-ACD，∴
    15
    4
    d＝
    3
    4
    3
    （13分）
    ∴d＝
    15
    5
    ．（14分）

    解法二
    （1）同解法一；（4分）
    （2）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB．
    又PA⊥底面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）
    建立空间直角坐标系，如图．则
    A(0，0，0)，P(0，0，
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