一道北大自主招生数学题是否存在x,使tanx+根3 与cotx+根3是有理数?

Question

一道北大自主招生数学题 是否存在x,使tanx+根3 与cotx+根3是有理数?

Answer 1

设
tgx
=
t,cotx
=
1/t
tanx+根3
=
a
cotx+根3
=
b
a,b
均为有理数.(a
-
根3)(b
-
根3)
=
t
*
1/t
=
1
ab
+
3
-
(a+b)*根3
=
1
(a+b)
*
根3
=
2
+
ab
a+b
是有理数,2
+
ab
也是有理数
,而
根3
是无理数,若想让上式成立,只有
a
+
b
=
0
则
ab
=
-2
而这样的
a,b
不是有理数,矛盾.所以不存在这样的
x
.