（高悬赏）2011年黄浦区初三数学二模压轴题,如图,在△ABC中,∠ACB= ,...

Question

（高悬赏）2011年黄浦区初三数学二模压轴题, 如图,在△ABC中,∠ACB= ,AC=BC=2,M是边AC的中点,CH⊥BM于H. 若D是边AB上的点,且使△AHD为等腰三角形,求AD的长. 附：这是原题的最后一小问,答案为2√10/5或8√2/2或√2/2,求具体过程,分三种情况讨论,每种情况说清楚,可能的情况写出具体过程,不可能的写出具体理由,最后与答案核对.另外,不知道前两问得到的条件有没有用（这一问里不需再证明下列条件,用到处写明即可）：AM=MC=1,MB=√5,∠MCH=∠MBC,sin∠MCH=√5/5,△AMH相似于△BMA（各点一一对应）.过程具体准确,速度快者送上这50分.

Answer 1

首先声明以下几点有用信息：
1、MH
：HB
=
1
：4（这一点可由Rt△MCB中的相似关系不难得到）
.
2、再利用勾股定理得MH=1/√5
,以下方便起见,记MH为一个单位长度a
,故MB
=
5a
3、∠AHM=45°
（这一点套用了第二题结论,可以看出∠AHM=∠BAC,这点不过多解释了）这点非常有用!
4、过A做AZ⊥BM于点Z（则Z在BM延长线上）.利用信息3知△AZH为等腰Rt△.
5、由于AZ
//
CH
且
M为AC中点,则M也为ZH中点,故ZH=2a=ZA,AH=2√2
a
,ZB=ZM+MB=6a
接下来是3种情况：
1、最简单的一种：AD=AH=2√2
a=2√10
/
5
2、AD=DH：
连接ZD,发现△ZAD与△ZHD全等（S.S.S全等）故ZD为∠AZB角平分线
故AD
：DB
=
AZ
：ZB
=
2a
：6a
=
1
：3
又AB=√2
AB
=
2√2
,故
AD=
AB/
4
=
√2/2
3、AH=HD：
过M作MX⊥AB于X,过H作HY⊥AB于Y
由MX
//
HY
得：HY
：MX
=
HB
：MB
=
4a
：5a
=
4
：5
在等腰Rt△AXM中,AM=1,故MX
=
√2
/
2
,故HY
=
2
√2
/
5
又AH
=
2√2
a
=
2√2
/
√5
,发现Rt△AYH又是1：2：√5
的结构（你还是用勾股定理直接一步写上去就可以了）,故AY=2
HY
=
4
√2
/
5
在等腰△AHD中,HY为底边AD中线,故AY=YD,故AD=
2
AY
=
8
√2
/
5
（这一种情况的答案你分母打错了）
补充几点：
1、这样做我觉得比较简单
2、我已经不记得初中考纲有没有角平分线定理了,不会的话去查一下,平面几何基本定理还是很重要的,用起来很爽
3、作为大学生,我可能过程没当年初三写得那么详细了,不过希望你能看明白
4、我把一些有用的信息先拎出来了,你写证明的时候也可以按照这种格式写,或者你就按步就班地把有用信息放到所对应的三种情况里去证明,逻辑上后者更清晰,但整体把握上前者更有层次,看你适应哪种了.保险起见你还是用前者吧,因为我不记得当年的评分标准了,也许你用后者写会扣分,没办法,你得应试.
5、作为当年的闸北考生,在此祝你中考顺利