第1个回答 2022-07-31
6﹒已知M=20162，N=2015×2017，则M与N的大小是( )
A﹒M>N B﹒M
解答：∵N=2015×2017=(2016-1)(2016+1)=20162-1，M=20162，
∴M>N﹒
故选：A.
7﹒当x取任意实数时，等式(x+2)(x-1)=x2+mx+n恒成立，则m+n的值为( )
A﹒1 B﹒2 C﹒-1 D﹒-2
解答：∵(x+2)(x-1)=x2+x-2，
又等式(x+2)(x-1)=x2+mx+n恒成立，
∴m=1，n=-2，
∴m+n=-1.
故选：C.
8﹒已知x2-4x-1=0，则代数式2x(x-3)-(x-1)2+3的值为( )
A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒-1
解答：∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，
∴2x(x-3)-(x-1)2+3=2x2-6x-(x2-2x+1)+3=2x2-6x-x2+2x-1+3=x2-4x+2=3﹒
故选：A﹒
9﹒若 ÷ =a2， =b3，则(x+y)2的平方根是( )
A﹒4 B﹒±4 C﹒±6 D﹒16
解答：由 ÷ =a2，得x-y=2，由 =b3，得xy=3，
把x-y=2两边平方，得x2-2xy+y2=4，则x2+y2=4+2xy=10，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=10+6=16﹒
∴(x+y)2的平方根是±4﹒
故选：B.
10.若代数式[2x3(2x+1)-x2]÷2x2与x(1-2x)的值互为相反数，则x的值是( )
A﹒0 B﹒ C﹒4 D﹒
解答：∵代数式[2x3(2x+1)-x2]÷2x2与x(1-2x)的值互为相反数，
∴[2x3(2x+1)-x2]÷2x2+x(1-2x)=0，
(4x4+2x3-x2)÷2x2+x-2x2=0
2x2+x- +x-2x2=0
2x- =0，
x= ，
故选：D.
二、填空题
11.计算：(-2ab2)3=_________.
解答：原式=-8a3b6•
故答案为：-8a3b6﹒
12.若ax3my12÷3x3y2n=4x6y8，则(2m+n-a)n=____________﹒
解答：∵ax3my12÷3x3y2n=(a÷3)x3m-3y12-2n=4x6y8，
∴a÷3=4，3m-3=6，12-2n=8，
∴a=12，m=3，n=2，
∴(2m+n-a)n=(6+2-12)2=16﹒
故答案为：16﹒
13.若(2x+3y)(mx-ny)=4x2-9y2，则mn=___________.
解答：∵(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2，
∴m=2，n=3，
∴mn=6﹒
故答案为：6﹒
14.如图，在长为2a+3，宽为a+1的长方形铁片上剪去两
个边长均为a-1(a>1)的正方形，则剩余部分的面积
是______________(用含a的代数式表示).
解答：由题意，知：剩余部分的面积是(2a+3)(a+1)-2(a-1)2=2a2+2a+3a+3-2(a2-2a+1)=2a2+5a+3-2a2+4a-2=9a+1﹒
故答案为：9a+1﹒
15. 已知a+b=8，a2b2=4，则 (a2+b2)-ab=____________.
解答：∵a2b2=4，∴ab=±2，
当ab=2时，a2+b2=(a+b)2-2ab=8-4=4，
则 (a2+b2)-ab= ×4-2=0，
当ab=-2时，a2+b2=(a+b)2-2ab=8+4=12，
则 (a2+b2)-ab= ×12+2=8﹒
故答案为：0或8﹒
16.若2x3-ax2-5x+5=(2x2+ax-1)(x-b)+3，其中a，b为整数，则 =_________.
解答：∵(2x2+ax-1)(x-b)+3
=2x3+ax2-x-2bx2-abx+b+3
=2x3-(2b-a)x2-(ab+1)x+b+3，
∴ ，解得 ，
∴ = = ，
故答案为： ﹒
三、解答题
17.(8分)计算：
(1) + ×( -2)0- + ﹒
解答： + ×( -2)0- +
=2+(-3)×1-3+(-1)
=2-3-3-1
=-5﹒
(2)(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a-b)(3a+b)
解答：(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a-b)(3a+b)
=b2+2ab+3a2+ab-3ab-b2
=3a2﹒
18.(10分)先化简，再求值：
(1)[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y，其中x=2017，y=2016.
解答：[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y
=[2x3y-2x2y2+x2y2-x3y] ÷x2y
=[x3y-x2y2] ÷x2y
=x-y
当x=2017，y=2016时，原式=2017-2016=1﹒
(2)(2m- n)2+(2m- n)(-2m- n)，其中m，n满足方程组 ﹒
解答：解方程组 ，得 ，
(2m- n)2+(2m- n)(-2m- n)
=4m2-2mn+ n2-(2m- n)(2m+ n)
=4m2-2mn+ n2-4m2+ n2
=-2mn+ n2
当m=3，n=-1时，原式=-2×3×(-1)+ ×(-1)2=-5 ﹒
19.(8分)小明与小亮在做游戏，两人各报一个整式，小明报的整式作被除式，小亮报的整式作除式，要求商式必须为2xy﹒若小明报的是x3y-2xy2，小亮应报什么整式?若小亮也报x3y-2xy2，那么小明能报一个整式吗?说说你的理由﹒
解答：当小明报x3y-2xy2时，(x3y-2xy2)÷2xy=x3y÷2xy-2xy2÷2xy= x2-y，
所以小亮报的整式是 x2-y;
小明也能报一个整式，理由如下：
∵(x3y-2xy2)•2xy=x3y•2xy-2xy2•2xy=2x4y2-4x2y3，
∴小明报的整式是2x4y2-4x2y3.
20.(8分)观察下列关于自然数的等式：
22﹣9×12=-5 ①
52﹣9×22=-11 ②
82﹣9×32=-17 ③
…
根据上述规律，解决下列问题：
(1)完成第四个等式：112﹣9×_______=___________.
(2)根据上面的规律，写出你猜想的第n个等式(等含n的等式表示)，并验证其正确性.
解答：(1)由①②③三个等式的规律，可得出第四个等式：112﹣9×42=-23，
故答案为：42，-23.
(2)猜想：第n个等式为(3n-1)2-9n2=-6n+1;
验证：∵左边=(3n-1)2-9n2=9n2-6n+1-9n2=-6n+1，右边=-6n+1，
∴左边=右边，
即(3n-1)2-9n2=-6n+1﹒
21.(10分)阅读下列材料，解答问题：
在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的积中，x3项的系数为-5，x2的系数为-6，求a，b的值.
解：(x2+ax+b)(2x2-3x-1)
=2x4-3x3+2ax3-3ax2+2bx2-3bx6……①
=2x4-(3-2a)x3-(3a-2b)x2-3bx……②
根据对应项系数相等有 ，解得 ，……③
(1)上述解答过程是否正确?
(2)若不正确，从第几步开始出现错误?其它步骤是否还有错误?
(3)请你写出正确的解答过程.
解答：(1)不正确，
(2)从第①步开始出现错误，还有第③步也出现错误，
(3)正确的解答过程如下：
∵(x2+ax+b)(2x2-3x-1)
=2x4-3x3-x2+2ax3-3ax2-ax+2bx2-3bx-b
=2x4+(2a-3)x3+(-3a+2b-1)x2+(-a-3b)x-b，
∴展开式中含x3的项为(2a-3)x3，含x2的项为(-3a+2b-1)x2，
由题意，得 ，解得 ﹒
22.(10分)一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30cm的正方形，再将四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长为4a(cm)，宽为3a(cm)，这个无盖铁盒的各个面的面积之和称为铁盒的全面积.
(1)请用含a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积.
(2)若要在铁盒的各个面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为 (cm2)，则油漆这个铁盒需要多少钱(用含a的代数式表示)?
(3)是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍?若存在，请求出这个a的值;若不存在，请说明理由.
解答：(1)原长方形铁皮的面积为(4a+60)(3a+60)=12a2+420a+3600(cm2);
(2)油漆这个铁盒的全面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a=12a2+420a(cm2)，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：(12a2+420a)÷ =(12a2+420a)× =600a+21000(元);
(3)铁盒的全面积是：4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a2+420a(cm2)，
底面积是：4a×3a=12a(cm2)，
假设存在正整数n，使12a2+420a=n(12a2)，
∵a是正整数，∴(n-1)a=35，
则a=35，n=2或a=7，n=6或a=1，n=36，
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a=35或7或1.
23.(12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22-02;12=42-22;20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数.
(1)28和2016这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗?为什么?
解答：(1)∵28=4×7=82-62，2016=4×504=5052-5032，
∴28和2016这两个数是神秘数;
(2)是4的倍数，理由如下：
∵(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=8k+4=4(2k+1)，
又k是非负整数，
∴由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数;
(3)两个连续奇数的平方差不是神秘数，理由如下：
设这两个连续奇数为2k+1，2k-1，
则(2k+1)2-(2k-1)2=4k2+4k+1-(4k2-4k+1)=4k2+4k+1-4k2+4k-1=8k=4×2k，
由(2)知神秘数应为4的奇数倍，故两个连续奇数的平方差不是神秘数.