乡镇最忙碌的部门通常是乡镇政府的核心部门。
一、明确答案
乡镇政府部门中，负责行政事务和管理工作的工作负担最重，往往是乡镇政府的核心部门。由于需要处理各种日常事务和应对突发情况，这些部门的工作人员常常处于忙碌状态。因此，可以说乡镇政府的核心部门是最忙的部门。它们不仅负责政策的制定和执行，还要处理大量的群众来访和管理工作任务。此外，这些部门还需要与上级政府和其他相关部门进行沟通协调，确保乡镇工作的顺利进行。因此，这些部门的工作量和压力都很大。
二、详细解释
1. 乡镇政府的核心部门职能广泛：乡镇政府的核心部门负责执行上级政府的政策，管理乡镇的各项事务。它们需要与各个部门和群众进行沟通协调，确保政策的顺利实施。因此，这些部门的职能广泛且复杂。除了日常管理工作外，还要处理突发事件和紧急情况。这意味着这些部门需要随时准备应对各种情况，工作量较大。
2. 工作任务繁重：乡镇政府的核心部门需要处理大量的群众来访和管理工作任务。这些任务包括解决群众纠纷、维护社会治安、推动经济发展等。此外，这些部门还需要制定和执行各种计划、方案和政策措施。由于这些任务的复杂性和紧迫性，这些部门的工作人员常常面临较大的工作压力。
3. 工作量大且需要应对突发情况：乡镇政府的核心部门经常需要应对各种突发事件和紧急情况。例如自然灾害、突发事件等都需要这些部门迅速采取行动，保障群众的生命财产安全和社会稳定。这需要这些部门具备快速反应能力和协调能力。因此这些部门的工作量和工作压力都很大。这也使得乡镇政府的核心部门成为最忙碌的部门之一。