证明：因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，分两种情况讨论：
1.若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常函数，结论显然成立。
2.若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
另证：若M>m，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为0，得证。
扩展资料：
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b]上连续，（2）在开区间 (a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
参考资料: