物理，同频率简谐运动合成，初相为啥是π而不是0？用tanφ求得是0，求大师解释！

Question

如题所述

Answer 1

要看它合成后的简谐运动的速度是负的还是正的，或者说看他是向x轴正向运动还是负向运动 负的花初相应该在0—π，正的在π—2π（旋转矢量法）
貌似是这样做的。。。刚学的不是很深刻

Answer 2

x1: = Acos(ωt + π) = - Acos(ωt)
x2: = A/2 * cos(ωt)
x = x1 + x2
= - Acos(ωt) + A/2*cos(ωt)
= - A/2 * cos(ωt)
= A/2 * cos(ωt + π)追问

问你为何初相不是零？

用tanφ解释

追答

难道你不知道下面的三角函数公式？
tan(θ+π) = tanθ
所以，你的做法有问题！

追问

知道，

所以tanφ=0，
φ可取0，π，为何取π不取0？

追答

因为在 t=0 时振幅为 “-”，所以取 π，因为 cosπ = -1

追问

为什么 在 t=0 时振幅为 “-”，
+,-不都行吗。

？

追答

不会吧？！仔细把图看好了：
在 t = 0 时，x1 的振幅为 -A，x2 的振幅为 A/2。它们的和只能是：
= -A + A/2
= -A/2

追问

追答

实际上我已经在前面提醒过你：
tan(θ+π) = tanθ
也就是说，这种使用 tanφ 的方法是有问题的！
严格的作法：
x1 = A1cos(ωt+φ1)，x2 = A2*cos(ωt+φ2)
x = x1 + x2
= A1*[cos(ωt)*cosφ1 - sin(ωt)sinφ1] + A2*[cos(ωt)*cosφ2 - sin(ωt)*sinφ2]
= (A1*cosφ1 + A2*cosφ2]*cos(ωt) - (A1*sinφ1 + A2*sinφ2)*sin(ωt)
设 A² = (A1*cosφ1 + A2*cosφ2)² + (A1*sinφ1 + A2*sinφ2)²
= (A1)² + (A2)² + 2A1A2*cos(φ1 - φ2)
所以，A = √[(A1)²+(A2)²+2A2A2*cos(φ1-φ2)]
那么：
x = A*[(A1*cosφ1+A2*cosφ2)/A * cos(ωt) - (A1*sinφ1 + A2*sinφ2)/A * cos(ωt)]
= A* [cosφ*cos(ωt) - sinφ*sin(ωt)]
= A * cos(ωt + φ)
其中：
cosφ = (A1*cosφ1 + A2*cosφ2)/A
sinφ = (-1)*(A1*sinφ1 + A2*sinφ2)/A
因为表达式为余弦函数，所以，求 cosφ 比 sinφ 更容易落在 反余弦函数的定义域内[0, π]，且比 tanφ 更准确。
仅就本题而言：
φ1 = π, φ2 = 0, A1 = A, A2 = A/2
所以：
A' = √[A²+(A/2)²+2A*(A/2)*cosπ*cos0]
= √[A²+A²/4 + A²*(-1)*1]
= A/2
cosφ = [A*cosπ + (A/2)*cos0]/A'
= [A*(-1) + (A/2)*1]/(A/2)
= -1
所以：
φ = π
因此，合成的简谐运动方程为：
x = A'cos(ωt+φ)
= (A/2)*cos(ωt + π)

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