第1个回答 2022-07-21
复数概念的引入最初是为了求解 这样的没有实根的方程,因此复数集可以看作实数集的一个自然的扩充.为此,首先引进一个“新数”i,使它满足 ,即 适合方程 .这个新数 称为虚数单位.将 添加到实数集中去,定义:形如 ( 、 均是实数)的表达式称为一个复数.其中的 和 分别叫做复数 的实部和虚部,分别记作
一、复数 的分类当
虚部 时,复数 是实数;
当虚部 时,复数 是虚数;
当虚部 ,且实部 时,复数 是纯虚数.
如果记
——实数集
——复数集
——虚数集
——纯虚数集
就有关系
二、复数相等的充要条件
对于两个复数 , ,二者相等的充要条件是 且 ,即
复数相等的充要条件是复数问题化归为实数问题的理论依据,“化虚为实”是解决复数问题的通性通法.
三、复数的运算法则
对于两个复数 、 .
加法: ;
减法: ;
乘法: ;
除法: .
四、复数的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,也就是说,对于任何复数 、 、 均有
复数的乘法满足交换律、结合律,以及乘法对于加法的分配律.也就是说,对于复数 、 、 ,均有
五、共轭复数的性质
当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,就称其互为共轭复数.特别地,若复数的虚部不为零时,也称作互为共轭虚数.对于复数 ,它的共轭复数用 来表示.
共轭复数有如下基本性质:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) 是实数的充要条件是 ; 是纯虚数的充要条件是 且 .
六、复数的几何形式
复数 与复平面上的点 是一一对应的,点 和向量 也构成一—对应关系,点 和向量 均是复数 的几何形式.向量 的模 称为复数 的模 ,即
这种对应关系的构建,揭示了复数问题与向量问题之间的相互转化,说明了向量方法是解决复数问题的一条有效途径.
关于复数的模,有如下的基本性质:
(1) ;
(2) ;
(3) .