证明fx在a,可导公式例题

Question

一道高数上关于函数的题目
已知fx在[a,b]连续,(a,b)上可导.f(a)=λb,f(b)=λa,λ是不为零的常数
证明
在(a,b)上存在ξ,f（ξ)=λξ
(a,b)上存在两点mn,使f＇(m)·f＇(n)=λ^2

Answer 1

证明：令g(x)=f(x)-λx,g(x)在[a,b]上连续
g(a)=f(a)-λa=λ(b-a)
g(b)=f(b)-λb=λ(a-b)
显然g(a)和g(b)异号
所以根据连续函数介值定理,存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即f(ξ)=λξ
证明：因为f(x)在[a,ξ]连续,在(a,ξ)上可导
所以根据柯西中值定理,存在m∈(a,ξ),使得f'(m)=[f(ξ)-f(a)]/(ξ-a)=(λξ-λb)/(ξ-a)
同理,存在n∈(ξ,b),使得f'(n)=[f(b)-f(ξ)]/(b-ξ)=(λa-λξ)/(b-ξ)
f'(m)*f'(n)=λ^2
即,在(a,b)上存在两点m,n,使得f'(m)*f'(n)=λ^2