数学题。 矩形abcd中，对角ac，bd交于o，点m，n分别为ad与oc的中点，且角cod=60°，

Question

数学题。 矩形abcd中，对角ac，bd交于o，点m，n分别为ad与oc的中点，且角cod=60°，求证：mn=1/2bc。

Answer 1

连结DN，(AC、BD交点为O)，
∵OC=OD，∠COD=60°
∴△COD等边，
又∵N是OC中点，
∴DN⊥OC（等腰三角形三线合一）
又∵M是AD中点，
∴NM=1/2AD(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)
又∵BC=AD，
∴MH=1/2BC

Answer 2

∵ABCD是矩形，∴OC=OD=OA，∠ADC=90°，
∵∠COD=60°，∴ΔOCD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，∴∠DAC=30°，
连接OM，∵M、O分别为AD？AC的中点，
∴OM∥CD，∴∠AMO=∠ADC=90°，
∴OM=1/2OA，又ON=1/2OC，∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∵∠AOM=∠OMN+∠ONM=60°，
∴∠ONM=30°，
∴∠DAC=∠ONM，
∴MN=AM=1/2BC。

Answer 3

如图所示连接ND。因为，矩形对角线AC，BD交于点O。所以OD=OC，又因为角COD= 60°。所以三角形DOC是等边三角形。又因为N是OC的中点，所以ND垂直与OC且角ODN=角CDN=30°（三线合一）。所以角ADN=60°。设AC=4，则OC=DC=DO=2，AD=2√3（勾股定理），NC=1/2OC=1。

所以DN=√3（勾股定理）。而M是AD的中点，所以MD=1/2AD=√3。所以MD=DN，又因为角ADN=60°。所以三角形MDN是等边三角形。所以MN=MD。即MN=1/2AD=1/2BC.