在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象

Question

在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,其顶点坐标为1,且过点(2,3)(-2,-5)
⒈求解析式
⒉设直线y=kx(k≠0)与线段BC交于点D(不与B,C重合),问是否存在这样的直线L，使以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似,若存在,求出函数表达式及D的坐标,若不存在,说明理由
⒊如果点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角∠PCO和∠ACO的大小,并写出P点横坐标的取值范围

Answer 1

解：（1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
∴由
-b
2a
=1

4a+2b+c=3
9a-3b+c=-12

解得
a=-1
b=2
c=3

．
∴此二次函数的表达式为y=-x2+2x+3．

（2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
在y=-x2+2x+3中，令y=0，则由-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|=
32+32
=3
2
．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，则只需
|BD|
|BC|
=
|BO|
|BA|
，①或
|BO|
|BC|
=
|BD|
|BA|
②成立．
若是①，则有|BD|=
|BO|•|BC|
|BA|
=
3×32

4
=
92

4
．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（
92

4
）2．
解得|BE|=|DE|=
9
4
（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-
9
4
=
3
4
．
∴点D的坐标为（
3
4
，
9
4
）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=3x．
或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y=3x．
此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3．联立y=3x，y=-x+3求得点D的坐标为（
3
4
，
9
4
）．
若是②，则有|BD|=
|BO|•|BA|
|BC|
=
3×4
32

=2
2
．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（2
2
）2．
解得|BE|=|DE|=2（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴点D的坐标为（1，2）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x．
∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），
使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为（
3
4
，
9
4
）或（1，2）．

（3）设过点C（0，3），E（1，0）的直线y=kx+3（k≠0）与该二次函数的图象交于点P．
将点E（1，0）的坐标代入y=kx+3中，
求得k=-3．
∴此直线的函数表达式为y=-3x+3．
设点P的坐标为（x，-3x+3），
并代入y=-x2+2x+3，得x2-5x=0．
解得x1=5，x2=0（不合题意，舍去）．
∴x=5，y=-12．
∴点P的坐标为（5，-12）．
此时，锐角∠PCO=∠ACO．
又∵二次函数的对称轴为x=1，
∴点C关于对称轴对称的点C'的坐标为（2，3）．
∴当xp＞5时，锐角∠PCO＜∠ACO；
当xp=5时，锐角∠PCO=∠ACO；
当2＜xp＜5时，锐角∠PCO＞∠ACO．

Answer 2

日