均值的估计

Question

如题所述

Answer 1

假设已取得样本数据：x_i（i=0，1，2，…，N），均值的估计量为

地球物理信息处理基础

式中（N+1）是观察次数。下面用已介绍的方法评价它的估计质量。

1.3.2.1 偏移

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因此B=0，说明这种估计方法是无偏估计。

1.3.2.2 估计量的方差与均方误差

地球物理信息处理基础

在计算上式时，与数据内部的相关性有关，先假设数据内部不相关，那么

E［x_ix_j］=E［x_i］·E［x_j］

地球物理信息处理基础

上式表明，估计量的方差随观察次数（N+1）增加而减少，当N→∞时，估计量的方差趋于0。这种情况下估计量的均方误差为

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这样，当N→∞时，B=0，σ_μ＾_x→0，E［

］→0，是一致估计。结论是：当数据内部不相关时，根据式（1-67）估计均值，是一种无偏的一致估计，是一种好的估计方法。

如果数据内部存在关联性，会使一致性的效果下降，估计量的方差比数据内部不存在相关情况的方差要大，达不到信号方差的1/（N+1）。

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当序列的i与j相差m时，E［（x_i-μ_x）（x_j-μ_x）］=cov（m），而N点数据中相距m点的样本有N→m对，因此

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式中

，

，上式表明当数据之间存在相关性时，根据式（1-67）估计均值，其估计量的方差下降不到真值的1/（N+1）。也可将上式表示成

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如果希望估计量的方差改进K倍，令

，则可以利用上式估计需要的样本数据的点数（N+1）。