如何计算矩阵特征值

Question

如题所述

Answer 1

设此矩阵A的特征值为λ
则
|A-λE|=
-λ 1 0
0 -λ 1
-1 -3 -3-λ 第1行减去第3行乘以λ
=
0 1+3λ λ²+3λ
0 -λ 1
-1 -3 -3-λ 按第1列展开
= -[1+3λ +λ(λ²+3λ)]
= -(λ^3 +3λ² +3λ +1)
= -(λ+1)^3=0
解得特征值λ= -1，为三重特征值

Answer 2

|A-xE| =
-x 1 0
0 -x 1
-1 -3 -3-x
=- x^3 - 3*x^2 - 3*x - 1
= -(x + 1)^3
特征值为 -1,-1,-1

Answer 3

|aE-A|=0,a为特征值，E为单位矩阵

Answer 4

矩阵的特征值是指矩阵所具有的特殊数值，它们可以通过以下的步骤计算得出：1. 首先，需要求出 n 阶方阵的行列式（det）。2. 接着，需要求出该方阵的伴随矩阵，也就是将该矩阵的每个元素 a_ij 替换为它的余子式 C_ij 乘以 (-1)^(i+j) 所得到的矩阵。伴随矩阵记作 A*。3. 然后，需要将伴随矩阵与原矩阵相乘，得到新的矩阵 B = A*A。4. 最后，将矩阵 B 的特征值求出，这些特征值就是原矩阵的特征值。需要注意的是，这种方法只适用于方阵，且只能计算实数或复数特征值。同时，这种计算方法在某些情况下可能会产生误差或无法得出特征值。

Answer 5

计算矩阵特征值可以使用以下步骤：1. 计算矩阵的特征多项式，即将该矩阵减去 $\\lambda$ 乘以单位矩阵后的行列式，其中 $\\lambda$ 是待求的特征值。2. 解特征多项式得到 $\\lambda$ 的值。这可以通过将多项式因式分解或使用数值解法（例如牛顿迭代）来完成。3. 重复第 1 步和第 2 步，直到所有的特征值都被求解出来。特别地，对于 $n$ 阶矩阵来说，可以使用行列式法计算特征值，即：1. 计算 $A - \\lambda I$，其中 $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵。2. 计算 $|A - \\lambda I|$ 的值，这相当于求 $(A - \\lambda I)$ 的行列式。3. 解方程 $|A - \\lambda I| = 0$，即可得到 $n$ 个特征值。