首先，σ有n个不同的特征值，则对应的特征向量ξ1,ξ2,...,ξn线性无关。从这个n个特征向量里面任取有限个生成的子空间都是σ-子空间，共有C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n个。
其次，这n个特征向量ξ1,ξ2,...,ξn刚好组成V的一组基。假设V1是V的一个σ-子空间，那么对任意的x∈V1，σx∈V1。
x可以由ξ1,ξ2,...,ξn线性表示：x=k1ξ1+k2ξ2+...+knξn，如果所有的系数非零，则x∈V，所以V1=V。如果有些系数非零，那么σx的线性表示式中同样的系数也非零(比如k1=0，其余非零，则σx中ξ的系数肯定也是零)，所以V1等于上面2^n个σ-子空间中的某一个非平凡的子空间(由x的线性表示式中的系数非零的那么特征向量生成的子空间)。
所以，结论成立。
其次，这n个特征向量ξ1,ξ2,...,ξn刚好组成V的一组基。假设V1是V的一个σ-子空间，那么对任意的x∈V1，σx∈V1。
x可以由ξ1,ξ2,...,ξn线性表示：x=k1ξ1+k2ξ2+...+knξn，如果所有的系数非零，则x∈V，所以V1=V。如果有些系数非零，那么σx的线性表示式中同样的系数也非零(比如k1=0，其余非零，则σx中ξ的系数肯定也是零)，所以V1等于上面2^n个σ-子空间中的某一个非平凡的子空间(由x的线性表示式中的系数非零的那么特征向量生成的子空间)。
所以，结论成立。
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第1个回答 2013-03-19
如果σ有n个不同的特征值，则存在n个不同特征向量线性无关。这n个向量的任意组合（包括空组合）的任何一个都是σ的不变子空间，共有2^n个追问
我想知道为什么不存在其他的不变子空间
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