设数列{xn}有界,有lim（yn）=0,证明：lim[（xn）×（yn）]=0n→∞ n→∞

Question

如题所述

Answer 1

证明：
∵数列{Xn}有界，因此：
∀ Xn∈{Xn}，∃ M>0，当 n>N1时（N1∈N），
∴|Xn|≤ M成立
又∵lim(n→∞) Yn = 0
∴∀ ε' >0，∃ N2∈N，当 n>N2时，必有：
|Yn- 0| < ε'成立
即：|Yn|< ε'
显然：
|Xn|·|Yn| < ε'M 成立，此时n=max{N1,N2}
令ε=ε'M，则：
∀ ε>0
|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立
∴必有：
lim(n→∞) XnYn =0