求一道大一的高数题啊（急）

Question

求∫∫∑（xydydz+xzdzdx+yzdxdy）,∑：圆柱面x^2+y^2=R^2在y≥0，z≥0两卦限内被平面z=0和z=H（H>0所截下的部分的外侧）

Answer 1

解：根据题设条件（自己作图分析），得
原式=2∫∫<S1>y√(R²-y²)dydz+∫∫<S2>x√(R²-x²)dzdx+∫∫<S3>yzdxdy

(S1：0≤y≤R，0≤z≤H。S2：-R≤x≤R，0≤z≤H。S3：y=√(R²-x²))
=2∫<0,H>dz∫<0,R>y√(R²-y²)dy+∫<0,H>dz∫<-R,R>x√(R²-x²)dx+0
(S3是一条半圆曲线，则二重积分等于零)
=2H∫<0,R>y√(R²-y²)dy+H∫<-R,R>x√(R²-x²)dx
=2H∫<0,R>y√(R²-y²)dy+0
(第二个积分的被积函数是奇函数，且它的积分区间是对称区间，则它等于零)
=2H*(R³/3)
=2HR³/3。
说明：此题也可以应用奥高公式求解，解法约去。