设fx在01上连续在01内可导且满足f1=2∫(0→1/2)xfxdx求证存在ξ,f'ξ=-fξ

Question

ξ

Answer 1

从积分形式入手，构造有利函数：
证明
由积分中值定理
　　存在
η∈(0,1/2)使得
　　
f(1)
=
2∫xf(x)dx
　　
=
2
·
1/2
·
ηf(η)
　　
=
ηf(η)
构造函数
g(x)
=
xf(x)，
　　则
g(x)在[0,1]上连续可导，
　　由
g(η)
=
g(1)可知存在ξ∈(η,1)，使得g'(ξ)
=
0
　　即
f(ξ)
+
ξf'(ξ)
=
0