设随机变量x的分布函数为F(x),密度函数为f(x),若x与-x有相同的分布函数

Question

设随机变量x的分布函数为F(x),密度函数为f(x),若x与-x有相同的分布函数为什么f(x)=f(-x)

Answer 1

f（x）不能F（∞）＝1≠0＝F（－∞）

具有相同的分布函数，意味着：

P{X<=a}=P{-X<=a}

即F（a）＝1－F（－a）

两边对a求导，得到：

f（a）＝f（－a）

X与Y＝｜X｜是不相关的。

因为E（X）＝∫x＊f（x）＊dx＝0。

E（Y）＝∫｜x｜＊f（x）＊dx＝1。

E（XY）＝∫x＊｜x｜＊f（x）＊dx＝0。

有X与Y的协方差Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝0。

==> X与Y的相关系数ρ(X,Y)=0。

所以X与Y＝｜X｜不相关。

扩展资料

举例：

设随机变量X的分布函数为：

F(x)=A+Be^(-x^/2)    x>0

解：

设随机变量X的分布函数为

F(x)=A+Be^(-x^/2) x>0

0x≤0

x→＋∞时，A＋Be＾（－x＾／2）→A＝1

x→0＋时，A＋Be＾（－x＾／2）→A＋B＝F（0）＝0

∴A＝1，B＝－1。

Answer 2

具有相同的分布函数，意味着
P{X<=a}=P{-X<=a}

即F(a)=1-F(-a)
两边对a求导，得到
f(a)=f(-a)。

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Answer 3

本题也可由分布函数的定义得到．由-X与X有相同的分布函数得-X的分布函数

P(-X≤x)=P(X≥-x)=1-P(X＜-x)

=1-P(X≤-x)=1-F(-x)

=F(x)，

即 1-F(-x)=F(x)，求导得f(x)=f(-x)．