(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,设E是抛物线上在第一象限内的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;
(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由
(1)
顶点为C(1,4), y = a(x - 1)² + 4
过点B(3, 0): a(3 - 1)² + 4 = 0, a = -1
y = -(x - 1)² + 4 = -x² + 2x + 3
(2)
抛物线对称轴为x =1, E, F关于对称轴对称
设E(1 + p, 4 -p²), F(1 - p, 4- p²)
GH = 1+ p - (- p) = 2p = 4- p²
p² + 2p - 4 = 0
p = -1 + √5 (舍去-1 -√5 <0)
正方形的边长= 2p= 2(√5 - 1)
(3)
MN∥BD, ∠DMN = ∠MDB; 要使二者相似,只需另一对内角相等,如∠NDM = ∠MBD
D(0, 3), B(3,0), A(-1, 0)
tan∠MBD = OD/OB = 3/3 = 1, ∠MBD = 45˚
设M(m, 0)
DM斜率为k1 = (3 - 0)/(0-m) = -3/m
AD斜率为k2 = (3 - 0)/(0 + 1) = 3
tan∠NDM = |(k1 - k2)/(1 + k1*k2)| = |(-3/m - 3)/(1 - 3*3/m)| = |(3m+ 3)/(m- 9)| = tan45˚ = 1
m = -6或m = 3/2
(i) m = -6:
MN, BD斜率为-1, MN方程: y- 0 = -1(x + 6), y = -x - 6
AD方程: x/(-1) + y/3 = 1
N(-9/4, -15/4), -9/4 < -1(A的横坐标), 舍去
(ii) m = 3/2
MN, BD斜率为-1, MN方程: y- 0 = -1(x - 3/2), y = 3/2 -x
N(-3/8, 15/8), N在AD上
别啊 哥我要考试了啊我就第三题不会
追答我第二问写错了,第二问|FE|=|EB|可以知道y=2(x-1),
和y=-x^2+2x+3联立,可以知道x=√5,(舍去x=-√5),y=2(√5-1)
3)第三问∠BDM=∠DMN(内错角相等),
如果再有一个角相等,它们俩就相似,
根据已知条件,我们知道D(0,3)那么我们很容易知道∠DBM=45°,
我们只需要让∠NDM=45°,就可以满足相似条件,
DA直线,斜率是3,将它逆时针旋转45度,就可以得到DM的斜率,
k DM=(3+tan45°)/(3-tan45°)=-2,
DM过D(0,3),所以很容易就可以求出DM方程y=-2x+3
令y=0,可以求出M坐标(3/2,0),
所以T横坐标是3/2,带入抛物线可以知道T坐标就是(3/2,15/4)