高数求极限的问题

Question

请详细点写出步骤。另外最好能给出这类题的解题方法。急用万分感谢！

Answer 1

2/3。

分子的导数=d(x²)/dx × sin √(x²)=2x sin(x)，

分母的导数=3x²，

所以用洛必达法则，极限=2/3 * sin(x)/x = 2/3。

分子这种形式的导数（从g(x)到h(x)的积分  f(t)dt），对于x的导数就是f(h(x)) × h'(x)-f(g(x)) × g'(x)。

Answer 2

用洛必达法则，分子分母求导数，其中分子为变上限积分求导，根据[∫f(t)dt]' （下限0上限u(x)）=u'(x)*f(x)，分子求导=(x^2)'(sin根号x^2)=2xsinx，所以原极限=lim2xsinx/3x^2=lin2sinx/3x=2/3

Answer 3

解：令√t=y，则：dt=2ydy；
又t∈[0，x^2]，
∴y∈[0，x]
∴∫[0,x^2]sin√tdt=∫[0,x]2ysinydy
=2(-ycosy+siny]I[0，x]
=2(-xcosx+sinx)
∴lim(∫[0，x^2]sin√tdt/x^3=lim2(-xcosx+sinx)/x^3 ('0/0")
x→0 x→0
=2lim(-cosx+xsinx+cosx)/2x^2
x→0
=limsinx/x ("0/0")
x→0
=limcosx
x→0
=1

Answer 4

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