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Question

已知焦点在y轴上的椭圆C1：y2/a2+x2/b2=1经过A（1，0）点，且离心率为根号3/2 ．
（I）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）过抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．

Answer 1

经过A(1,0)得到b=1.

e^2=c^2/a^2=1-b^2/a^2=3/4
a^2=4
故椭圆方程是y^2/4+x^2=1.
(ii)设P坐标是(xo,yo),过P的切线的斜率k=y'=2xo
MN的方程是y-yo=2xo(x-xo),yo=xo^2+h
即有y=2xox-xo^2+h
代入椭圆方程中有(2xox-xo^2+h)^2+4x^2=4
(4xo^2+4)x^2-4xo(xo^2-h)x+(xo^2-h)^2-4=0
x1+x2=xo(xo^2-h)/(xo^2+1)
即MN的中点G的横坐标是Xg=(x1+x2)/2=(xo^3-hxo)/[2(xo^2+1)]
又AP中点H的横坐标是Xh=(1+xo)/2
GH//y轴,则有Xg=Xh
即有(xo^3-hxo)/[2(xo^2+1)]=(1+xo)/2
xo^3-hxo=(xo^2+1)(xo+1)=xo^3+xo^2+xo+1
h=-(xo+1/xo+1)
由题意得到xo<0,故有h=(-xo)+1/(-xo)-1>=2-1=1
故有h的最小值是:1