一道高中数学竞赛平面几何题

Question

在非等腰△ABC中,高AA1,CC1夹成的角平分线分别交AB,BC于P,Q，∠B的平分线与连接△ABC的垂心H和AC中点E的线段交于R。求证：
（1）△BPQ为等腰三角形
（2）PBQR四点共圆

Answer 1

连接PR、QR，延长BR交AC于D，过E作BC的垂线，垂足为N，过E作AB的垂线，垂足为M

(1) △BPQ为等腰三角形，很容易，不写了。

(2) PBQR四点共圆，需要慢慢写

首先需要求得NQ/A1Q和MP/C1P的值

接着求ER/HR的值，存在恒等比例关系：

其中：

可得：

综合以上有

又由于，EN∥A1H, EM∥C1H

因此由相似比例关系知：EN∥RQ, EM∥RP，进而有RQ⊥BC, RP⊥AB, PBQR四点共圆

Answer 2

题出的好乱，没看懂。

哪来的AA1 CC1的夹解的平分线呢？？追问

把PQ连起来就是，也就是说PQH共线